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Siano A,B due matrici tali che AB = BA.

Si supponga che:
- esiste una matrice C tale che $ \displaystyle C^{-1}AC $ è diagonale
- esiste una matrice D tale che $ \displaystyle D^{-1}BD $ è diagonale
Dimostrare che:
- esiste una matrice E tale che $ \displaystyle E^{-1}AE $ e $ \displaystyle E^{-1}BE $ sono entrambe diagonali.

(della serie si scrive quello che c'è da scrivere e viene)
Sia V lo spazio vettoriale su cui A e B sono applicazioni lineari (eventualmente un certo K^n).Siano V_1,...,V_k gli autospazi relativi ad A rispetto agli autovalori c_1,...,c_k
tutto sto casino per tradurre A diagonalizzabile=i V_i sono in somma diretta e la somma è V
allora se prendiamo una base di V_1 e la completiamo con basi di V_2,...,V_k è chiaro che la matrice A è della forma a blocchi
c_1Id 0
0 D
mentre B è
E F
G H
(insomma a caso)
la commutatività di A e B(che ovviamente vale in ogni base) ci dà
(D-c_1Id)F=0 e
(D-c_1Id)G=0
ma D non può avere come autovalore c_1 dunque è invertibile dunque F=G=0
ragionando ora su D e procedendo ricorsivamente si arriva a trovare una base in cui A e B sono diagonali a blocchi.Inoltre i blocchi di A sono della forma c_iId e i blocchi di B sono diagonalizzabili(perchè B lo è).Allora diagonalizzando i blocchi di B si trova la base che diagonalizza sia A che B
spero sia chiara è più facile a concepire che a spiegare
G

Un modo un po' più semplice per dire la stessa cosa. Sia v un autovettore di A con autovalore $ \lambda $. Allora

$ \lambda B v = B \lambda v = B A v = A B v $

cioè anche Bv è autovettore di A con autovalore $ \lambda $. Quindi B preserva gli autospazi di A. Possiamo così lavorare separatamente su ciascun autospazio. Su un autospazio di A, A è multiplo dell'identità e B è diagonalizzabile, e da questo si conclude.