OliForum Matematico

Questa stupenda dimostrazione non è mia, bensì di una persona che chiameremo "il fisico anonimo" e che vorrete certamente venerare come un dio, appena avrete finito di leggere la

dimostrazione:

1. Consideriamo l'equazione $ \sin {(x)} = x-x^3/3!+x^5/5!-...=0 $ (che sarebbe la serie di taylor per il seno)

2. In un polinomio a coefficienti interi se $ x=p/q $ è radice$ q $divide il coefficiente del termine di grado massimo (vale solo per polinomi con un numero finito di monomi, ma decido arbitrariamente di fregarmene)

3.PASSAGGIO CHIAVE: moltiplico il polinomio del punto 1 per infinito fattoriale. Il coefficiente del termine di grado massimo è adesso 1 (perchè prima aveva a denominatore infinito fattoriale), quindi $ q=1 $ per il punto 2.

4. Se $ \pi $ fosse razionale, essendo radice del polinomio, si avrebbe $ \pi =p/q= p/1=p= assurdo $, perchè sappiamo che $ \pi $ è maggiore di $ 3 $ e minore di $ 4 $. Quindi $ \pi $ è irrazionale.



Aneddoto: quando questa magnifica dimostrazione è stata concepita ed enunciata per la primissima volta, Nardin sentendo "ora moltiplichiamo tutto per infinito fattoriale" ha fatto due occhi talmente grossi da far invidia a un pesce palla, e col mento avrebbe potuto tranquillamente fare da spalaneve

Sul momento credevo che avessi postato questo link, presente sul forum di mathlinks...

Comunque operazioni molto più innocue (ma comunque non lecite, perché ispirate dalle regole relatove ai polinomi - finiti, s'intende) della tua "moltiplico per infinito fattoriale" possono portare alla dimostrazione della forumla

$ \displaystyle \sum_{n\ge 1} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}6 $

memedesimo ha scritto: moltiplico il polinomio del punto 1 per infinito fattoriale

giusto per questo è stato definito il fisico, e non il matematico anonimo

denis, hai tutta la mia comprensione

EUCLA ha scritto:

memedesimo ha scritto: moltiplico il polinomio del punto 1 per infinito fattoriale

giusto per questo è stato definito il fisico, e non il matematico anonimo

denis, hai tutta la mia comprensione

Non siamo tutti così, vi prego di non fare di tutti i fisici un fascio.
Infinito fattoriale... LOL bella come idea

Comunque dove la trovo una demo più "innocua" del fatto che \pi non è razionale?

qui!

e tanto meglio se non fai parte dei fisici pezzenti

anche se andrebbe data la definizione di pezzenza...insomma mi hai capito, no?

Mmmh i polinomi di Taylor sono proprio roba elementare... comuqnue complimenti, più pezzente di cosi non si può!! XD

Ok non sarà elementare ma non puoi pretendere che uno sporchissimo come memedesimo sappia anche cosa vuol dire elementare.

In ogni caso, a scanso di equivoci, nessuno pensi che io, benchè sporco fisico pezzente, sia l'autore di questa splendida dimostrazione: la mia sporcizia non arriva a tali limiti.

quanta merda gli state buttando, povero eglimedesimo? Rilancio io una volta tanto: come si dimostra che $ ~e $ è irrazionale (non correi confondere irrazionale e trascendente, e wikpedia non ho voglia di aprirla... datemi vi prego il beneficio dell'innioranza.)
E come si dimostra se un generico numero è irrazionale o meno? Ad es. tutte le radici di numeri che non sono quadrati perfetti sono irrazionali. Come si dimostra?

killing_buddha ha scritto:tutte le radici di numeri che non sono quadrati perfetti sono irrazionali. Come si dimostra?

probabilmente basta dimostrare per assurdo che ogni radice di un numero primo è irrazionale così:
supponiamo per assurdo che sia razionale, allora
$ \sqrt{p}=\frac{a}{b} \Longleftrightarrow p \cdot b^2=a^2 $

ma allora a sinistra abbiamo di divisori pari e a destra dispari, assurdo

Si ma ad esempio 10 non è primo ma

$ \sqrt{10} \simeq 3,1622776601683793319988935444327 $

si ma è comunque il prodotto di radici di due primi..

Anche se ormai non dovrebbe star più in birreria, diciamo qualcosa... cmq se volete proseguire il discorso un po' più seriamente, spezzo e traslo gli ultimi messaggi in MNE, dove magari si può dire qualcosa di più.

Teo: Sia $ m $ un numero intero, per cui esista un primo $ p $ tale che $ p\mid m $ ma $ p^2\not\vert m $; allora $ \sqrt{m} $ è irrazionale.
Dim: Se $ \sqrt{m}=\dfrac{a}{b} $ con (a,b)=1, allora $ mb^2=a^2 $ e dunque $ p\mid a^2 $, ma allora $ p^2\mid a^2=mb^2 $ per cui $ p\mid b^2 $ (in quanto m ha un solo fattore p), ma allora (a,b)|p. Assurdo.

In generale,
Teo: Sia $ m $ un numero intero per cui esista un primo $ p $ tale che $ p\mid m $ ma $ p^n\not\vert m $. Allora $ \sqrt[n]{m} $ è irrazionale.
Dim: Come sopra, solo con potenze n-esime.

Ma più in generale
Teo: Sia $ p(x) $ un polinomio a coefficienti razionali irriducibile (ovvero senza fattori a coefficienti razionali e di grado minore); allora le sue radici non sono razionali.
Dim: Ovvia, no?

Altrimenti
Teo: Sia $ p(x) $ un polinomio monico a coefficienti interi; allora le sue radici sono intere o irrazionali.
Dim: Se le radici sono razionali, il loro denominatore deve dividere il coefficiente direttore, che è 1, dunque sono interi.

Ed infine, per quel che riguarda $ e $, possiamo dire che
Prop: La serie
$ 1+1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\ldots $
converge; la sua somma si indica con $ e $.
Dim: Diciamo $ s_n=\displaystyle{\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}} $; allora si ha $ s_k\leq s_{k+1} $ e $ s_n\leq 3 $. La prima è ovvia in quanto ogni termine è positivo; la seconda segue dal fatto che $ k!=k\cdot(k-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1\geq 2\cdot2\cdot\ldots\cdot2\cdot1=2^{k-1} $ che implica $ s_n\leq 1+\displaystyle{\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^{k-1}}\leq1+2=3 $. Dunque la successione delle somme parziali è limitata e monotona. Per cui converge.

Osserviamo quindi che $ 2<e<3 $

Teo: Il numero $ e $ è irrazionale.
Dim: Supponiamo che $ e=\dfrac{a}{b} $. Allora
$ b!e\in\mathbb{N} $
dunque, poiché $ \displaystyle{\sum_{k=0}^b\dfrac{b!}{k!}}\in\mathbb{N} $, allora
$ \displaystyle{x=\sum_{k=b+1}^\infty\dfrac{b!}{k!}}\in\mathbb{N} $
ma
$ \dislpaystyle{\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1)(b+2)}+\ldots < \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(b+1)^n}=\frac{1}{b} $
e poiché $ b\neq1 $ si ha che $ x\in(0,1) $ ma questo è assurdo.