OliForum Matematico

Provare la seguente identità
$ 1 \setminus (cos 0 *cos 1) $ + $ 1 \setminus (cos 1 *cos 2) $+....+$ 1 \setminus (cos 88 *cos 89) $=$ cos 1 \setminus sen^2 1 $

viene dagli usamo 92.. io ho provato con angoli corrispondenti e simili, ma non cavo fuori un granchè..

io ho iniziato provando a scrivere quella roba come sommatoria di n (n=1 fino a n=88) di 1/cos(n)*cos(n+1) e utilizzando prostaferesi mi viene:

2 \sum_{n=0}^88{ \left( \frac{1}{\cos 2n+1+\cos 1 }}

ora nn saprei + cosa fare...

$ 2 \sum_{n=0}^{88} \frac{1}{\cos 2n+1+\cos 1 }} $ ho solo riscritto la tua formula

tralasciando il primo termine $ \frac{1}{\cos 0*cos 1 } $ ho visto che se prendo a due a due i termini della forma $ \frac{1}{\cos a*cos a+1 } $ e$ \frac{1}{\cos (90-a)*cos(90-a-1) } $ e li sommo, a numeratore osservo che $ cos(90-a)cos(89-a) + cosa*cos(a+1) $ è uguale a cos 1 per le formule di sottrazione del coseno..il problema è ciò che rimane a denominatore..

parrebbe la solita somma telescopica...

$ \displaystyle \sum_{n=0}^{88}{\frac{1}{\cos{n} \cdot \cos{(n+1)}}} = \frac{1}{\sin1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{88}{\frac{\sin1}{\cos{n} \cdot \cos{(n+1)}}} =\ $

$ = \displaystyle \frac{1}{\sin1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{88}{\frac{\sin{[(n+1) - n]}}{\cos{n} \cdot \cos{(n+1)}}} = \frac{1}{\sin1} \cdot \sum_{n=0}^{88} \left [{tan (n+1) - \tan{n} \right ] = $

$ = \displaystyle \frac{1}{\sin1} \cdot (\tan{89} - \tan{0}) = \frac{\cos{1}}{\sin^2{1}} $