OliForum Matematico

Mi ricordo che alle semifinale mi colpì questo esercizio, dopo qualche mese di allenamento riprovo a farlo, voi che mi dite?

9. La tecnica segreta di Numeruto [⋆]
Numeruto `e un esperto della tecnica superiore della moltiplicazione, un’arte magica che gli permette di
ottenere istantaneamente il prodotto di un qualunque insieme di numeri interi. Il maestro Isoshilo gli ha
per`o affidato un addestramento durissimo: considerati i numeri interi da 1 a 2007 deve calcolare il prodotto
di ogni sottoinsieme con due o pi`u elementi dei numeri assegnati e sommare tutti i prodotti ottenuti. Siete
capaci di aiutarlo (pur senza poteri mateninja), calcolando almeno le ultime 4 cifre del risultato?

[OT] e non mi chiedete perchè sono a casa a quest'ora di sabato sera perchè omicidi non ne voglio fare [/OT]

up che mi ci sto scervellando ma non trovo niente

Allora, l'idea è quella di prendere un polinomio in x le cui radici siano -1,-2,...,-2007 e scomporlo ponendo x=1. Mi spiego. Io devo trovare, in poche parole, la somma di tutti i possibili prodotti a due a due, poi a tre a tre, e così via. Ma so che in un polinomio di grado n, il termine di grado n-1 ha come coefficiente la somma (cambiata di segno) di tutte le radici, quello di grado n-2 la somma di tutti i prodotti delle radici a due a due e così via. Allora ponendo x=1 otterrò proprio quello che cerco (da cui però dovrò togliere un 1, che deriva dal termine $ $x^n$ $, e la somma di tutti gli elementi, che non è richiesta dal problema). Con Ruffini allora scompongo il polinomio e ci tolgo quello che ci devo togliere: $ (1+1)(1+2)(1+3)\ldots(1+2007)-(\frac{2007\cdot 2008}{2}+1) $
nel prodotto ci sono un bel po' di fattori 5 e 2, quindi finirà di sicuro con 0000, mentre l'altro pezzo viene (se non ho sbagliato i calcoli) 2015029. Il risultato è quindi 10000-5029=4971. spero di essermi spiegato....

si poteva anche vedere più facilmente analizzando casi più semplici e poi generalizzare, tipo prendere $ abc+ab+ac+bc $ e vedere che è uguale a $ (a+1)(b+1)(c+1)-(a+b+c+1) $

Molto interessante come problema...
Poteva venirmi in mente in gara solo se mi davano 2 settimane di tempo!

Io ho sbagliato 3 volte i calcoli in gara ._. (ovviamente dopo 3 errori di calcolo ho deciso di rinunciare XD)

Molto bella la soluzione con le radici di un polinomio monico...
ma a te l'idea è venuta in gara?
comunque il risultato è giusto..

Agi_90 ha scritto:Molto bella la soluzione con le radici di un polinomio monico...
ma a te l'idea è venuta in gara?
comunque il risultato è giusto..

no purtroppo la gara neanche l'ho fatta... e ammetto che anche se l'avessi fatta molto probabilmente non mi sarebbe venuta in mente cosi facilmente !!

il problema comunque era abbastanza conosciuto..
da stage senior pisa 2002

Dato un sottoinsieme non vuoto A dell'insieme (1, 2,....2002), si indichi con P(A) il reciproco del prodotto di tutti gli elementi di A.
Trovare la somma di tutti i P(A)