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Chiedo venia anticipata per la domanda...

Detti P(x) e Q(x) due polinomi a coefficienti reali (razionali, interi) esiste un metodo per calcolare tutti i valori dell'incognita per cui $ $P(x)/Q(x)\in N$ $?

Il caso di $ $P(x)=a$ $ lo conosco e possiamo assumere che $ $deg(Q(x)) > deg(P(x))$ $ (altrimenti faremmo una divisione euclidea e ci ricondurremmo a questo caso).

Rispondetemi prima del nostro incontro a Pisa
meditans

Faccio subito un esempio...

Come trovo tutti i valori di $ $x$ $ per cui $ $\frac{3x+2}{2x^2+5x-7}$ $ è intero senza fare ragionamenti del tipo $ $3x+2>2x^2+5x-7$ $?

Magari così mi sono spiegato un poco più chiaramente
meditans

Non capisco una cosa...ma perchè la disuguaglianza non la vuoi fare? Che ti stanno antipatiche?

Ad esempio in questo caso ti permettono di trovare un intervallo che se supponi $ x \in \mathbb{N} $ puoi anche controllare a mano se vanno bene o no...

Temo di non esserti di grande aiuto, ma onestamente direi che non è un problema banale. Tuttavia, come mi pare tu abbia intuito, quando il coefficiente del termine di grado più alto di Q(x) è 1, si può fare la divisione tra polinomi e ridursi a deg(Q(x))<deg(P(x)) e vedere che ottieni un intero solo un numero finito di volte...

Per quanto riguarda il caso Q(x)=c (con c costante intera) e P(x) a coefficienti interi, se il rapporto è intero per deg(P(x))+1 valori interi consecutivi di x, allora è intero sempre...

Di più non so dirti...

EUCLA ha scritto:Ad esempio in questo caso ti permettono di trovare un intervallo che se supponi $ x \in \mathbb{N} $ puoi anche controllare a mano se vanno bene o no...

be questo andrebbe bene per intervalli finiti e aggiungerei impropriamente piccoli...però in realtà non è mai stato detto che $ x \in \mathbb{N} $

Sherlock ha scritto:

EUCLA ha scritto:Ad esempio in questo caso ti permettono di trovare un intervallo che se supponi $ x \in \mathbb{N} $ puoi anche controllare a mano se vanno bene o no...

be questo andrebbe bene per intervalli finiti e aggiungerei impropriamente piccoli...però in realtà non è mai stato detto che $ x \in \mathbb{N} $

tra l'altro penso che x, se i coefficienti sono razionali/irrazionali e distinti tra loro (cioè non si possono mettere in evidenza fattori e semplificare) la x deve essere reale per "eliminare" la parte irrazionale/razionale che sia...