TST: Romania 2007

[Jacobi]

Dimostrare che la funzione $ f:N \rightarrow Z $ definita da $ f(n) = n^{2007}-n! $ e' iniettiva.
Questo problema nn e' facile, quindi nn consiglio a chi sta alle prime armi.

[marco-daddy]

Dunque
Mettiamo che $ m^{2007}-m!=n^{2007}-n! $ con $ $m>n>1 $
(n=1 non da soluzioni)

Riscrivo $ m^{2007}-n^{2007}=m!-n! $

Sia p un primo che divide n
se $ 2007\geq n $

$ 2007\leq v_p(LHS)=v_p(n!)\leq v_p(2007!)<2007 $

Assurdo

Se $ 2007<m,n $

$ m^{2007}\equiv n^{2007}\ \forall \ p<2007 $

Quindi $ m\equiv n\ (\bmod \ p) $ $ \forall \ p $ t.c. $ (p-1,2007)=1 $

$ 2007<m-n $

Da qui è facile capire che l' Rhs è un pò sovrabbondante, infatti

$ $RHS>n!(m(m-1)\dots(m-2007)-1)> $$ $2007!(m(m-1)\dots(m-2006))= $
$ $\prod_{i=0}^{2006}(m-i)(i+1)\geq m^{2007}>LHS $

[Marco]

Sia p un primo che divide n
se $ 2007\geq n $

$ 2007\leq v_p(LHS)=v_p(n!)\leq v_p(2007!)<2007 $

Questa non l'ho capita. Me la spieghi meglio?

[marco-daddy]

Poichè p|m e p|n

$ $ 2007\leq v_p(LHS) $

inoltre

$ $ v_p(2007!)=\sum_{i=1}^{\infty}\lfloor{\frac{2007}{p^i}\rfloor}<2007 $