OliForum Matematico

Ammissione Normale 2007. Quesito 1/5

Un tale deve compiere un viaggio in auto lungo 800 Km. Lungo il tragitto incontrerà un benzinaio ogni 100 Km, ma, a causa di uno sciopero, ha solo il 50% di probabilità che ciascun benzinaio sia aperto.
Con un pieno di benzina, l'auto ha un'autonomia di 200 Km.
All'inizio del viaggio il tale fa un pieno, e ne fa uno ogni volta che trova un benzinaio aperto (anche se il serbatoio non è a secco).
Si richiede con quale probabilità il tale giunga a destinzione.

così, su 2 piedi, evitando calcoli caso per caso:
supponendo un consumo uniforme, se ci sono 2 o più benzinai consecutivi chiusi allora non arriva a destinazione. Calcolo Q=p2+p3+p4+p5+p6+p7+p8
p2=(0.5)^8*7
p3= (0.5)^8*6
p4=(0.5)^8*5
p5=(0.5)^8*4
p6=(0.5)^8*3
p7=(0.5)^8*2
p8=(0.5)^8*1

Q= 28/256
dunque l'evento complementare ha probabilità P= 1-Q
P=228/256, ovvero P=57/64
Mi sembra un po' troppo P e un po' troppo semplice l'esercizio, cmq...
enjoy!

Credo che ti sia confuso....

Ne bastano 2 di fila chiusi perchè non arrivi a destinazone...

giusto...ok allora correggo subito!

Non ho capito bene il tuo ragionamento...
Io credo di averlo risolto diversamente..

Il mio risultato è stato 25%.

non ne sono convinto, cmq il mio ragionamento è questo:
in quali casi non concludo il percorso? quando ci sono 2 o + benzinai consecutivi chiusi. Calcolo la probabilità che questi eventi avvengono (eventi incompatibili, per cui Q è la loro somma) Di conseguenza in tutti gli altri casi riuscirà a completare il percorso.
@supergrane: posta il tuo ragionamento, non mi sembra poi così difficile!

Io ho fatto il rapporto casi favorevoli e possibili e mi trovo 9/32

Provo la mia...dovrebbe andare..

Affinchè l'auto arrivi a destinazione è necessario e sufficiente che nessuna coppia di distributori consecutivi sia chiusa. Se indichiamo con A un distributore aperto e con C un distributore chiuso, abbiamo $ 2^7=128 $ disposizioni di A e C (esempio AACCCAC). Tra queste, tutte equiprobabili, dobbiamo considerare solamente quelle in cui non vi sono coppie di distributori chiuse. Premettiamo innanzitutto che i distributori chiusi non possono essere più di 4, e distinguiamo vari casi.

1° CASO: I distributori chiusi sono 4
Allora ci sta bene solamente l'ordinamento CACACAC (1 ordinamento)

2° CASO: I distributori chiusi sono 3
Allora i distributori aperti sono 4, e tra due di essi vi è al più un distributore chiuso. Schematizziamo la sequenza in questo modo: XAXAXAXAX (dove 2 X sono ovviamente vuote). Gli ordinamenti favorevoli sono dati da $ {5\choose3} =10 $ (altri 10 ordinamenti)

3° CASO: I distributori chiusi sono 2
Allora i distributori aperti sono 5, e tra due di essi vi è al più un distributore chiuso. Schematizziamo la sequenza in questo modo: XAXAXAXAXAX (dove 4 X sono ovviamente vuote). Gli ordinamenti favorevoli sono dati da $ {6\choose2}=15 $ (altri 15 ordinamenti)

4° CASO: Il distributore chiuso è 1
Allora i distributori aperti sono 6, e tra due di essi vi è al più un distributore chiuso. Schematizziamo la sequenza in questo modo: XAXAXAXAXAXAX (dove 6 X sono ovviamente vuote). Gli ordinamenti favorevoli sono 7 (altri 7 ordinamenti)

5° CASO: Tutti i distributori sono aperti
Un solo ordinamento possibile: AAAAAAA (un altro ordinamento)

In conclusione gli ordinamenti favorevoli sono 1+7+15+10+1=34 su 128, dunque $ p=\frac{34}{128}=\frac{17}{64} $

si in effetti è 17/64
avevo contato male

ecco, è sempre meglio costruire tutti i casi, credevo che con la storia dei distributori chiusi consecutivi avrei preso tutti i casi, ma non è così!

anche io avevo contato tuti i casi, ma ne ho contati 32 e basta.quindi 32/128=0.25

Magari c'è anche un modo per arrivare allo stesso risultato in modo più rapido...io ho risolto come mi è venuto in mente "on the spot"...sempre che la soluzione sia esatta. Ma agli aspiranti normalisti danno le soluzioni dopo il compito??

No non le danno....

Comunque penso proprio che non ci fosse un modo più veloce per risolverlo....

Uhm, se non sbaglio (e, considerando che è combinatoria, la premessa è falsa) dovrebbe esserci una ricorsione del tipo $ f(n)=2f(n-1)-f(n-3) $ per $ n\ge 3 $ con $ f(0)=1 $, $ f(1)=2 $ e $ f(2)=3 $ dove f(n) è il numero di configurazioni favorevoli quando il viaggio dura $ 100(n+1)\; \mbox{km} $, nel quale dunque ci sono n benzinai (quello di partenza non lo considero e quello di arrivo è inutile).

Quindi la probabilità richiesta è $ \displaystyle\frac{f(7)}{2^7}=\frac{34}{128}=\frac{17}{64} $

Onestamente non mi pare ci sia un modo per esplicitare f(n), anche se sarebbe divertente fare il caso generale...

(comunque pare che la semplicità dei problemi di matematica sia stata abbondantemente compensata dal terzo problema di fisica)