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Dopo mesi di silenzio, ecco un po' di esercizi affrontati a Perugia (talora invano) con Gian e Pino

Valutare il carattere delle serie
1) $ \displaystyle\sum _{i=1} ^ {+ \infty} \frac 1{a_i} $, dove $ a_i = $i-esimo numero intero positivo nella cui scrittura decimale non compare la cifra 9 (sorprendente)
2)$ \displaystyle\sum _{i=1} ^ {+ \infty} \frac 1{b_i} $, dove $ b_i = $i-esimo numero intero positivo palindromo (inutile)
3)$ \displaystyle\sum _{i=1} ^ {+ \infty} \frac 1{p_i} $, dove $ p_i = $i-esimo numero primo (mooolto difficile)

Dimostrare inoltre che la serie
4)$ \displaystyle\sum _{i=1} ^ {+ \infty} \frac 1{i} $ ha lo stesso ordine di infinito di $ log n $
5)$ \displaystyle\sum _{i=1} ^ {+ \infty} \frac 1{p_i} $ ha lo stesso ordine di infinito di $ log log n $
6)(congettura delirante) $ \displaystyle\sum _{i=1} ^ {+ \infty} \frac 1{q_{p_i}} $ ($ q_{p_i} $ è il primo di posto $ p_i $, con $ p_i $ i-esimo primo) ha lo stesso ordine di infinito di $ log log log n $

ma dai... eri anche tu a Peurgia? Progetto lauree scientifiche, indam, SMI o cos'altro?

indam

Eri uno di quelli che è venuto a chiedere quanto costava un bicchiere di sangria?

Uhm per il primo un gustoso modo potrebbe essere usare il fatto che per $ k \in N $ la serie $ \sum a_i $ se $ a_i $ è decrescente, si comporta come $ \sum k^ia_{k^i} $. A questo punto metto $ k=9 $ e vedendo che $ a_{9^i} =10^i $ (questo perchè i numeri con meno di $ i+1 $ tutte diverse da 9 sono $ 9^i-1 $, poichè ho 9 scelte per la prima cifra, 9 scelte per la seconda cifra ecc... ma così ho contato anche lo 0). Quindi poichè $ \sum (\frac 9{10} )^i $ converge giungo al fatto che la somma di partenza converge

Il terzo l'avevo già fatto al prim'anno o giù di lì ... vediamo se mi riviene...
$ \displaystyle{\sum_{n=1}^N\frac{1}n\leq\prod_{p}\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{p^k}=\prod_p\left(1-\frac{1}p\right)^{-1}} $
dove il prodotto è preso su tutti i primi.
Ora, $ 1\leq(1-x)e^{2x} $ se x sta in (0,1/2), quindi
$ \displaystyle{\sum_{n=1}^N\frac{1}n\leq \exp\left(\sum_{p}\frac{2}{p}\right)} $
il che dice che la somma degli inversi dei primi diverge (e dunque essi costituiscono una part abbastanza sostanziosa dei naturali).