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Problema abbastanza famoso, cmq:
Una catenella è tenuta ferma su un tavolo privo di attrito mentre un quarto della sua lunghezza pende dal tavolo. Se la catenella ha una lunghezza totale L e una massa m, quanto lavoro è richiesto per tirare sul piano la parte pendente?

Scarto una soluzione immediata perchè incapace di fare equazioni differenziali, scelgo un approccio "fisico" (pezzenti di tutto il mondo...):
il corpo è omogeneo, quindi il c.d.m del tratto che pende si trova inizialmente L/8 sotto il piano del tavolo. La massa vale m/4. Lo spostamento del c.d.m. è L/8, da cui:
W= m/4 * g * L/8
W= mgL/32

Vi convince? Le soluzioni matematiche sono ben accette

Premetto che dovrete perdonarmi le imperfezioni di fisica...
Comunque credo si possa risolvere come segue...

Chiamiamo $ s $ la porzione di catenella che solleviamo.
Possiamo impostare questa proporzione:
$ \displaystyle \frac{m}{L}=\frac{m_x}{\frac{L}{4}-s} $ (dove $ \displaystyle m_x $ è ma massa che continua a pendere).
Da questo otteniamo $ \displaystyle m_x=\frac{m}{L}\left(\frac{L}{4}-s\right)=\frac{m}{4}-\frac{ms}{L} $.
A questo punto il lavoro è dato da $ \displaystyle Lav=\int_0^{\frac{L}{4}} g\left(\frac{m}{4}-\frac{ms}{L}\right) ds=g\left\{\frac{m}{4}\left[s\right]_0^{\frac{L}{4}}-\frac{m}{2L}\left[s^2\right]_0^{\frac{L}{4}}\right\}=g\frac{mL}{32} $
Il risultato coincide con il tuo...
Questo è il massimo di soluzione matematica che mi permette il liceo scientifico!
Fammi sapere se ti convince...

credo sia corretto, anche io l'ho impostato come te, sfruttando la definizione di lavoro non si sbaglia mai...ma non credo sia un caso la mia soluzione, sarebbe molto strano. C'è da dire che il problema è in un capitolo precedente a dove si parla di c.d.m, quindi richiede la tua soluzione.