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$ 125 \cdot 127 \cdot 129 \cdot ... \cdot 163 \cdot 165 = x $
ho trovato questo quesito da qualke parte, mi viene rikiesto di trovare le ultime tre cifre di $ x $ , qualcuno sa come risolverlo senza fare dei lunghi calcoli?
e in generale ci sarebbe un trucchetto per risolvere i quesiti del genere, cioè dove vengono rikieste le ultime cifre del risultato di una data somma o moltiplicazione?

per le ultime tre cifre usa congruenze modulo 1000.
Dopodichè facendo un po' di conti viene un periodo
875, 875, 625, 125

e quindi in generale basta applicare il modulo giusto e fare un pò di casi x notare delle similitudini e il gioco è fatto?

La soluzione di Pic88 e' corretta, ma il modo piu' semplice (e generale) di fare il problema e'... TCR!!
Infatti si vede subito che quel prodotto e' divisibile per 5^3, ed essendo 1000=5^3*2^3, sfruttando il Teorema Cinese del Resto, basta analizzare quel prodotto modulo 8... il che e' ben piu' semplice direi! Poi una volta trovata la congruenza mod 125 e mod 8 si determina la congruenza mod 1000, che e' equivalente alle ultime 3 cifre

Leblanc ha scritto:La soluzione di Pic88 e' corretta, ma il modo piu' semplice (e generale) di fare il problema e'... TCR!!
Infatti si vede subito che quel prodotto e' divisibile per 5^3, ed essendo 1000=5^3*2^3, sfruttando il Teorema Cinese del Resto, basta analizzare quel prodotto modulo 8... il che e' ben piu' semplice direi! Poi una volta trovata la congruenza mod 125 e mod 8 si determina la congruenza mod 1000, che e' equivalente alle ultime 3 cifre

grazie!

Ciao a tutti, mi sono appena iscritto (scusate se il primo post non è di presentazione, rimedierò con il secondo ).
Dato che ho non molta esperienza con le congruenze, vorrei chiedervi come posso trovare quel $ r $ tale che
$ 125\cdot127\cdot...163\cdot165 \equiv r(mod8) $
Grazie in anticipo

applico il teorema cinese del resto:
noto ke
$ x \equiv 0 (125) $
$ x \equiv 5 (8) $
il reciproco di 8 modulo 125 è 47, il reciproco di 125 modulo 8 è 5
e quindi
$ 47 \cdot 8 \cdot 0 + 5 \cdot 125 \cdot 5 \equiv 3125 \equiv 125 (1000) $
(spero di nn aver sbagliato nulla)

Goldrake ha scritto:$ 125\cdot127\cdot...163\cdot165 \equiv r(mod8) $
Grazie in anticipo

Bisogna fare i conti... Partendo dal fatto che 120 è multiplo di 8, stai facendo 5*7*...*45=5*7*(1*3*5*7)^4*1*3*5=5 mod 8

capito male la domanda...
si, come giustamente ha detto Pigkappa, si sfrutta del fatto che $ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \equiv 1 (8) $

mod_2 ha scritto: capito male la domanda...

Immaginavo

Per il resto vi ringrazio
Ciao