OliForum Matematico

Quanti sono i numeri compresi fra 10000 e 99999 (inclusi) in cui ogni cifra è maggiore di quella alla sua destra?

252

Perchè consideriamo anche lo 0....

Concordo

$ \displaystyle {10\choose5} = 252 $

ehm,perche?^

Perchè dato che le cifre devono essere in ordine decrescente esse dovranno essere, per forza di cose, tutte diverse....
Quindi bisogna trovare il numero delle combinazioni delle 10 cifre in classe 5 (il numero ha 5 cifre )...

Per fare ciò usiamo il coefficiente binomiale postato da sherlock......

non ho molto tempo, cmq


intanto dobbiamo escludere tutti i numeri che hanno ripetizioni perchè vogliamo che tutte le cifre (tranne l'ultima ma non ci interessa) siano maggiori di un'altra e non anche uguali, la soluzione poi sta nel notare che le cifre possono essere considerate in un solo ordine e + precisamente quello decrescente, cioè assegnate 5 cifre qualsiasi non uguali esiste una e una sola soluzione e quindi ci interessa quante combinazioni di 5 elementi possono essere formate con 10 cifre, da ciò deriva che prima ho detto una stupidaggine e invece del 9 ci doveva essere un 10 e quindi la soluzione è 252, però siccome ho fretta e sicuramente non si è capito niente di quello che ho scritto mi riservo di controllare meglio stasera quando torno...


PS: Nel frattempo si accettano correzioni

EDIT: Mannaggia Alberto non potevi dirmelo prima che lo scrivevi tu???

Cmq le cifre sono 10 perchè va considerato anche lo 0 quindi quel coefficente è sbagliato...ora lo correggo

Sorry

rilancio stupido:


E se avessimo voluto calcolare nello stesso intervallo tutti i numeri che abbiano le cifre strettamenti crescenti da sinistra verso destra?

Sherlock ha scritto:rilancio stupido:


E se avessimo voluto calcolare nello stesso intervallo tutti i numeri che abbiano le cifre strettamenti crescenti da sinistra verso destra?

$ $\binom{9}{5} $ perchè in questo caso non bisogna considerare lo 0, dato che un numero non può cominciare per zero

cambiamo il problema...e se io non avessi scritto "strettamente"?

Spero di non aver fatto errori .....

Mi viene 1287...
Intendevi crescenti da sinistra a destra giusto ?

Corretto ora dovremmo esserci...

blackdie ha scritto:ehm,perche?^

+ o meno è la stessa situazione

!!Alberto!! ha scritto:Spero di non aver fatto errori .....

Mi viene 1287...
Intendevi crescenti da sinistra a destra giusto ?

Corretto ora dovremmo esserci...

Anche a me viene cosi! xò ho fatto troppi conti per i miei gusti...
Cerco un modo più carino!

Ciao. Il problema e' molto classico, e si riconduce al numero di somme possibili (tenendo conto dell'ordine) con un totale dato e con un numero di addendi dato.

1. Il numero di somme possibili con $ k $ addendi interi positivi e totale $ n $ è $ \binom{n-1}{k-1} $

Infatti: pigliate una striscia di quadretti lunga $ n. $ Ogni somma di $ k $ addendi equivale ad uno ed unico modo di tagliarla in $ k $ pezzi lungo le righe tra un quadretto e l'altro. Per tagliare in $ k $ pezzi, devo fare $ k-1 $ tagli, che vanno scelti tra $ n-1 $ posizioni possibili.

2. Il numero di somme possibili con $ k $ addendi interi positivi o zero e totale $ n $ è $ \binom{n+k-1}{k-1} $

Infatti: ci si riconduce al caso precedente aggiungendo 1 ad ogni addendo. Ora gli addendi sono positivi, e il totale è $ n+k $

3. Il problema delle cifre crescenti non strettamente è riconducibile al (2.), con 6 addendi e totale 8.

Infatti: Il primo addendo è la prima cifra meno 1, il secondo è la seconda cifra meno la prima, il terzo è la terza cifra meno la seconda, ... ,l'ultimo addendo è 9 meno la quinta cifra. Ognuno di essi è non negativo, dato che stiamo supponendo le cifre in ordine crescente, e la somma fa 8. Inoltre, la corrispondenza è biunivoca: data una somma con k addendi, è ovvio invertire il procedimento e trovare un numero con le cifre nell'ordine giusto. Ma allora la soluzione è

$ $ \binom{8+6-1}{6-1} = \binom {13}{5} = 1 \ 287 $ []