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Siano X ed Y spazi metrici compatti infiniti tali che $ \forall n \in \mathbb{N} $, ogni sottospazio di n punti in X è isometrico ad un sottospazio di n punti in Y.
X ed Y sono isometrici?

Edit: grazie pic88. Vediamo se ora ha senso.

Non necessariamente... ad esempio X potrebbe essere contenuto strettamente in Y.

Facciamo finta che io sia più furbo di quello che sono e pensateci ancora

Si ma anche dicendo che sono disgiunti.. potrebbe esistere una traslazione $ {\tau} $ tale che $ \forall x \in X : \tau (x) \in Y $, e allora abbiamo l'isometria che soddisfa le ipotesi ma non abbiamo X e Y isometrici...

Comunque non mi è ben chiara la questione. Se per isometrici intendi che esite un'isometria che manda uno nell'altro allora dobbiamo ricordare che la definizione di isometria è una biiezione f tra spazi metrici (X,p) e (Y,q) tale che $ \forall a,b \in X: p(a,b)= q(f(a),f(b)) $, quindi vengono coinvolte le due metriche.
Ciò implica che anche [0,1] e [0,2] siano isometrici se definiamo opportunamente le rispettive metriche.

Proviamo adesso...
La definizione di isometria è esatta.