OliForum Matematico

15. L’ultima prova
L’esame per diventare Mezzin è giunto ormai alla fine. Pochi stremati mateninja sono riusciti a raggiungere questo traguardo. Ma solo chi riuscirà a dire quanto vale
$ 10000 \left ( \sin {\frac{1}{5}\pi }\right ) \left ( \sin {\frac{2 }{5}\pi }\right )\left ( \sin {\frac{3}{5} \pi }\right )\left ( \sin {\frac{4}{5}\pi }\right ) $
si potrà fregiare dell’agognato titolo. Che valore bisogna dire per terminare l’esame?

Qualcuno ha idea di come risolvere questo esercizio? io riesco a ridurre tutto in funzione del seno di pi greco quinti ma poi...

Quello che sono riuscito per ora a fare:

$ \sin {\frac{1}{5}\pi }= \sin {\frac{4}{5}\pi } $
$ \sin {\frac{2}{5}\pi }= \sin {\frac{3}{5}\pi } $

Poichè sono angoli supplementari
Inoltre per praticità

$ \alpha=\frac{1}{5}\pi $

quindi otteniamo

$ 10000 \left (\sin^2 \alpha \right ) \left (\sin^2 2\alpha \right ) $
$ 40000 \left (\sin^4 \alpha \right ) \left (\cos^2 \alpha \right ) $

uhmm se non mi sbaglio (anche se è una via un po' calcolosa), il seno di $ \pi/5 $ si può calcolare notando che in un decagono regolare il raggio è sezione aurea del lato, e così facendo si può trovare il seno di $ \pi/10 $, ricavando poi naturalmente quello di $ \pi/5 $

Ovviamente non serve calcolarseli tutti... Con le formule di Werner (prodotto --> somma) penso si possa far sparire un bel po' di seni.

Pigkappa ha scritto:Ovviamente non serve calcolarseli tutti... Con le formule di Werner (prodotto --> somma) penso si possa far sparire un bel po' di seni.

ma spariranno tutti? cmq puoi essere un po più specifico?

http://it.wikipedia.org/w/wiki.phtml?se ... 0&offset=0

I calcoli lo stesso non sono carini e non ne ho molta voglia . Comunque credo si debba accoppiare il primo e l'ultimo seno, il secondo e il terzo, e poi i due coseni che vengono fuori...

probabilmente sono io non in grado comunque con werner non ho cavato un ragno dal buco
invece sapendo quella cosa della sezione aurea sono arrivato alla soluzione, mancherebbe solo di fare altri conti ma mi sono affidato alla calcolatrice prima di rimbambirmi del tutto...se qualcuno ha un'altra soluzione magari più elegante sarei curioso di saperla...in ogni caso grazie a tutti per l'aiuto

$ \displaystyle 10000 \cdot \sin^2{36} \cdot \cos^2{18} = 10000 \cdot \frac{10 - 2\sqrt{5}}{16} \cdot \frac{10 + 2\sqrt{5}}{16} = $$ \displaystyle \frac{2^4 \cdot 5^4 \cdot 2^4 \cdot 5}{2^8} = 5^5 = 3125 $

Uhm secondo me è più un problema di algebra... comunque se ne parlava anche al senior e si può risolvere sapendo che $ 2isen(x) = e^{ ix} - e^{-ix} $

In questo modo

$ (2i)^{n-1} \displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} sen(\frac {k\pi}n) = \frac{\prod_{k=1}^{n-1}( e^{\frac{2ik\pi}n} -1)}{\prod_{k=1}^{n-1} e^{\frac{2ik\pi}n}} $

Ora sapendo che $ \prod_{k=1} ^ n (x- e^{\frac{2ik\pi}n} )= x^n-1 $ si arriva facilmente a dire (dividendo per x-1 e poi sostituendo 1) che il prodotto di quei seni è uguale a $ \frac n {2^{n-1}} $ come "testimoniato" dalla soluzione di Gabriel