OliForum Matematico

We have an angle (less than 180 degree) with it's top in point P. We also have point A inside the angle (interior). Points X and Y are laying on different legs of this angle and |PX| = |PY|.

We must prove that when the sum: |AX| + |AY| is the smallest (minimum), the equation belove is correct:

Angle XAP is equal to angle YAP.



P.S Point A is "standing still", and can be anywhere inside the triangle. We only move X and Y points

Someone has an Idea how to solve it?
I am trying to solve it for month and still can't do it!

Questo ragazzo polacco tenta di fare il furbo! I due problemi che ha postato (uno qui, l'altro in algebra) sono del I round delle olimpiadi polacche, in corso fino al 8 Ottobre e per le quali è vietato "farsi aiutare". Sarebbe quindi scorretto rispondere con una soluzione.

Sepp ha scritto:Questo ragazzo polacco tenta di fare il furbo! I due problemi che ha postato (uno qui, l'altro in algebra) sono del I round delle olimpiadi polacche, in corso fino al 8 Ottobre e per le quali è vietato "farsi aiutare". Sarebbe quindi scorretto rispondere con una soluzione.

This Polish guy is a cheat! The problems he posted (one is here, the other one in the section "algebra") belong to the first round of Polish olympiad, which last until October, and for which "asking help" is forbidden. So it would be unfair to answer with a solution.

pic88 ha scritto:... which last until October...

... which lasts until October...

Scommetto che se avessi fatto un errore di ortografia in italiano non me lo avresti segnalato
Comunque al massimo dovevo dire "Olympiads" visto che il testo originale era al plurale..

Set PX = PY = d. Then, by Ptolemy's inequality applied on the quarilateral AXPY:
$ ~ AX \cdot PY + AY \cdot PX \ge AP \cdot XY $
$ ~ AX + AY \ge AP \cdot \frac{XY}d $
Note that, since $ ~ \frac{XY}d $ is constant, so is the right hand side of our inequality as X,Y move. We have equality when AXPY is a cyclic quadrilateral, i.e., when $ ~ \angle XAP = \angle PAY $.