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L’agente 007 deve effettuare una missione in un dipartimento francese individuato da un codice composto da due cifre.
Per trovare la prima cifra, occorre considerare la sequenza 2587193460 7x; per la seconda cifra, la sequenza 0491329000 00 . Ognuna di queste due sequenze è costituita da 10 cifre (scelte tra 0 e 9 incluse), seguite da una chiave a due cifre appartenenti all’insieme {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; x} in cui x corrisponde al numero 10. La prima cifra della chiave è il resto della divisione per 11 della somma delle dieci prime cifre; la seconda cifra della chiave è uguale al resto della divisione per 11 della somma dei prodotti delle dieci prime cifre per la posizione che occupano nella sequenza.
Ognuna delle due sequenze sopra riportate contiene un simbolo volutamente sbagliato. I due simboli corretti (che sostituiscono i due simboli sbagliati) danno nell’ordine il codice del dipartimento francese.
Qual è questo codice?

Se ho ben capito, il codice è 18.

Detta $ S $ la somma delle cifre di ciascuna sequenza e $ S_p $ la somma dei prodotti delle dieci prime cifre per la posizione che occupano in ciascuna delle due sequenze, distinguo:

I sequenza) $ S_p=230 \equiv 10 \bmod 11 $, quindi per la seconda cifra della chiave ci troviamo. Essendo però $ S=45 \equiv 1 \bmod 11 $, nella prima sequenza è sbagliata la prima cifra della chiave, quindi cambierei il 7 con l'1;

II sequenza) abbiamo $ S=28 \equiv 6 \bmod 11 $, mentre $ S_p=129 \equiv 8 \bmod 11 $; essendo la chiave completamente sbagliata, occorre trovare il simbolo sbagliato nelle 10 cifre precedenti tale che soddisfi i resti cercati. Un po' di osservazioni:
- $ S $ e $ S_P $ devono essere multipli di 11;
- $ S $ può assumere valori compresi tra$ \{ 28-9,\ \ 28+9 \} $ e in questo intervallo gli unici due multipli di 11 sono 22 e 33.
Pertanto, poiché a una sola cifra dobbiamo sottrarre 6 o aggiungere 5, le uniche cifre a cui possiamo sottrarre 6 sono i 9 in posizione 3 e 7, ma $ 8-6 \cdot {\it 3 }\equiv -5 \bmod 11 $ e $ 8-6 \cdot{\it 7} \equiv -1 \bmod 11 $, dunque non ci resta che aggiungere...
$ 8+5{\it n} \equiv 0 \bmod 11 $. Provando un po' di multipli di 11 (giusto 3), si trova che $ 33=8+5\cdot {\it 5} $ (i valori di n da tentare sarebbero stati comunque limitati a 8 ), quindi in posizione 5 il 3 andrà sostituito con l'8.