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1) Trovare tutte le soluzioni intere non negative di $ \displaystyle 41=2^n-3^m $.

2) Trovare tutte le soluzioni intere non negative di $ \displaystyle 41=3^n-2^m $.

il primo mi pare non abbia soluzioni perchè

$ $$ 41 = 32 + 9 = 2^n - 3^m $$ $
$ $$ 2^n - 32 = 3^m + 9 $$ $
$ $$ 2^5 (2^{n-5}-1) = 3^2 (3^{m-2}+1) $$ $

ma sarebbe $ $$ 2^5 | 3^{m-2} + 1 $$ $ che è falso per ogni $ $ m $ $, basta provare un po' di potenze di $ $3$ $ modulo $ $$ 2^5 $$ $.


Per il secondo ci devo pensare un po' di più

secondo me, anche nel secondo caso non ci sono delle soluzioni...
$ 41=3^n-2^m $
raccogliendo mi viene
$ 2^5(1+2^{m-5})=3^2(3^{n-2}-1) $
noto che $ 2^5 $ non divide $ 3^2 $ per cui deve dividere $ (3^{n-2}-1) $
e quindi
$ 3^{n-2} \equiv 1 (32) \Rightarrow ord_{32}(3)|31 \quad e \quad ord_{32}(3)|n-2 $
noto che 31è un numero primo e quindi il MCD tra n-2 e 31 può essere solo o 1 o 31, si vede subito che 1 è assurdo resta quindi il caso $ ord_{32}(3)|31 $
che è $ 3^{31} \equiv 1(32) $
applico modulo 4 e noto che
$ 3^{2k} \equiv 1(4) $
$ 3^{2k+1} \equiv 3(4) $
e quindi in modulo 4:
$ 3^{31}=32x+1 $
$ 3=0+1 \quad (4) $
che è assurdo!
sono le prime volte che utilizzo queste tecniche (ordine,teorema di Fermat...) , per cui può darsi che io abbia sbagliato tutto, per tanto qualcuno più esperto di me potrebbe confermare o eventualmente correggere...

mod_2 ha scritto:ord_{32}(3)|31

casomai dividerà 16

ecco lo sapevo che avrei sbagliato...

Mi pare di averlo già visto tra le prove di accesso alla Normale di un po' di anni fa.
Si chiedeva di dimostrare che le due equazioni non avessero soluzione tra gli interi positivi, quindi...

Nel secondo caso basta vedere che:
1)$ 3^n \equiv 41 (4) $ ossia che $ 3^n \equiv 1 (4) $ da cui n è pari.
2)$ -2^m \equiv 41 (3) $ ossia che $ -2^m \equiv 2 (3) $ da cui
$ 2^m \equiv 1 (3) $ e quindi anche m è pari.
Se m=2k e n=2h avremo

$ 3^n-2^m=41 \Rightarrow (3^h-2^k)(3^h+2^k)=41 $. Quindi 41 ha due divisori che differiscono tra loro di una potenza di 2. Poichè gli unici divisori di 41 sono 1 e 41 (con segno positivo e negativo) e in ogni caso nn differiscono di una potenza di 2, non avremo soluzioni.

che stupido che sono stato.....e io che andavo a fare tutti quei passaggi(sbagliati...)

Per la cronaca...
Altre vie proposte a suo tempo da HiTLeuLeR, Ponnamperuma e piever (in rigoroso ordine cronologico!)