OliForum Matematico

La sezione "Problem solving olimpico" è riservata al problem solving olimpico. Qualche si scrive senza k. --FrancescoVeneziano

Ragazzi vorrei sottoporvi un problemino che mi ha dato qualche grattacapo

Il problema è il seguente:
A matrice 4x4 e sappiamo che :
_è simmetrica
_ ha 1,-1 come autovalori
_ l'autospazio dell'autovalore 1 è l'insieme delle x appartenenti a R4 : X1+2X2+X3+X4=0

Si chiedi di diagonalizzare A e dimostrare che A è ortogonale...

Prego chiunque abbia una soluzione di scriverla!!!


Grazie 10000000!!!

Tanto verrà spostato presto... quindi vediamo quante corbellerie riesco a dire prima che succeda...
E' simmetrica -> diagonalizzaile.
L'autovalore 1 ha molteplicità 3 (perchè il suo autospazio è un'iperpiano di R^4) ergo l'autovalore -1 ha molteplicità 1.
Quindi esiste una base (che non mi frega nulla di esplicitare) in cui si scrive come:

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 -1

A questo punto la sua inversa è lei stessa e coincide con la sua trasposta, quindi è ortogonale.

Mod!!!! C'è un topic da spostare qua!

tk!!!

Sicuro che sia giusto?

Xkè quando faccio Av deve essere uguale a 1v, cioè autovalore per autovettore,
ma il -1 nell'elemento di posto 4,4 di A mi fa cambiare segno all'elemento di posto 4,1 dell'autovettore e quindi mi sembra che non sia rispettata l'ugualianza su scritta...

Mi dareste una spiegazione?

GRAZIE!!!

Un autovettore di autovalore k è un vettore v per il quale Av=kv.
Tu vuoi trovare gli autovettori relativi ad un autovalore.
Non tutti i vettori di R^4 saranno autovettori (altrimenti la matrice sarebbe scalare ossia k volte l'identità).
Nel tuo caso ad esempio (1,1,1,1) non è un autovettore (ne relativo all'autovalore 1 ne all'autovalore -1) ma (1,1,1,0) è un autovettore relativo all'autovalore 1 e (0,0,0,1) è un autovettore relativo all'autovalore -1.

si, ma se io prendo un vettore:
1
0
0
-1
appartiene all'utospazio relativo a 1 e quindi Av=kv per tale vettore, ma con la matrice da te indicata ciò con avviene...
Ccomunque poi sono riuscito a trovare una matrice che risolva il mio problema!!
Grazie 1000!


Cmq se vuoi ne riparliamo con calma su msn se mi dai la tua disponibilità!

Aspetta... non ho mica capito... quando diagonalizzi stai cambiando base...
Le componenti dei vettori dell'autospazio relativo ad 1 che ottieni dall'equazione sono relative alla base standard di R^4 e non a quella in cui A è diagonale.
Se scrivi tali componenti nella nuova base vedrai che tutto torna
Sinceramente però non capisco quale sia la matrice che hai trovato...

No, non faccio la matrice di cambiamento di base...
E' soltanto che come ti ho detto, quando uso la matrice da te indicata e faccio Av=kv con il vettore che ti ho scritto, l'ugualizanza non viene verificata...

Per trovare la matrice ho usato una rappresentazione parametrica di A:

a b c d
b e f g
c f h l
d g l i

ho impostato il sistema: (con v1,v2,v3 autovalori risolventi il sistema _ x1+2x2+x3+x4=0
Av1= 1 v1 v1= -2 v2= -1 v3= -1
Av2= 1 v2 1 0 0
Av3= 1 v3 0 -1 0
0 0 1

E mi viene una soluzione funzione funzione (per esempio di l )
ma ricavo l dal fatto che l'altro autovalore deve essere -1, quindi impostando il determinante di (A-(-1)I) = 0 (cioè A-kv, con k=-1)

e quindi mi ricavo la matrice risolvente:
-5/7 -4/7 -2/7 -2/7
-4/7 -1/7 -4/7 -4/7
-2/7 -4/7 5/7 -2/7
-2/7 -4/7 -2/7 5/7

Che infatti è ortogonale!!

Si ma non è diagonale!
Tu volevi trovare la forma diagonale di A e provare che A è ortogonale:

Si chiedi di diagonalizzare A e dimostrare che A è ortogonale...

La forma diagonale di A è quella che ho scritto io.
Infine per mostrare che A è ortogonale basta mostrare che A è ortogonale nella base che la diagonalizza.