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Dimostrare che ogni naturale si può scrivere come somma di alpiù quattro quadrati perfetti.

sqrt2 ha scritto: come somma di alpiù

ma questo alpiù significa che posso usare anche solo tre o due quadrati o il numero deve per forza essere la somma dei 4 quadrati perfetti...?

5=1+1+1+1+1+1?????
o intendi che se scritto come somma di un numero minimo di quadrati tale numero sia minore o uguale a 4???

Credo voglia dire che: dato un numero $ n $ naturale esistono sempre 4 numeri $ a,b,c,d $ naturali tali che
$ n=a^2+b^2+c^2+d^2 $

Credo che intendesse citare un importante teorema (Lagrange ... ) secondo il quale ogni numero naturale può essere espresso come somma di quattro quadrati.

quel 'al più' possiamo trascurarlo considerando lo $ $ 0^2 $ $.

Detto questo, io conosco una dimostrazione che fa uso di concetti come i quaternioni... mi chiedo invece se esista una via olimpica!

albert_K ha scritto:Credo che intendesse citare un importante teorema (Lagrange ... ) secondo il quale ogni numero naturale può essere espresso come somma di quattro quadrati.

Penso che sia questo:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_de ... o_quadrati
http://www.mat.uniroma3.it/users/fontan ... ap_3-4.pdf

mi pare che sul davenport ci sia una soluzione abbastanza elegante di questo bel fatto

sqrt2 ha scritto:Dimostrare che ogni naturale si può scrivere come somma di alpiù quattro quadrati perfetti.

Ah... sere perugine spese in questo... sul blocchetto di Az...
Facili domande aggiuntive:
Bonus Question I: Dimostrare che non è possibile scrivere ogni numero naturale come somma di al più tre quadrati.
Bonus Question II: Trovare un'infinità di numeri naturali che non è possibile scrivere come somma di al più tre quadrati.

Bye,
#Poliwhirl#

Poliwhirl ha scritto: Facili domande aggiuntive:
Bonus Question I: Dimostrare che non è possibile scrivere ogni numero naturale come somma di al più tre quadrati.
Bonus Question II: Trovare un'infinità di numeri naturali che non è possibile scrivere come somma di al più tre quadrati.

Questo è facile,

I) $ x^2 \equiv 0,1,4 \pmod{8} $

quindi non è possibile ottenere tutti i numeri $ y \equiv 7 \pmod{8} $

II) tutti i numeri della forma $ 8k + 7 $

Sulla somma di 3 quadrati:

viewtopic.php?t=7971