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Si indichi con $ \sigma (n) $ la somma dei divisori di n. Dimostrare che, se N è un numero intero positivo e $ \sigma (N) = 2N+1 $, allora N è un quadrato perfetto dispari.

Se non mi ricordo male, si può scrivere anche così no?
Sia $ N=p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2}... \cdot p_n^{a_n} $
e quindi
$ \sigma (N)= \sigma (p_1^{a_1}) \cdot \sigma (p_2^{a_2}) ... \cdot \sigma (p_n^{a_n})=2N+1 $

Hint: a meno che non mi sbagli... basta esplicitare la sigma e guardare la congruenza modulo 4 (dopo osservazioni banali sui primi dispari)

Io penso che non sia proprio così banale, o almeno che valga la pena di scrivere una soluzione.

Osservazione
Se n è dispari e $ ~ \sigma(n) $ è dispari, n è un quadrato perfetto.
Dimostrazione: $ ~ \sigma(n) = (1+p_1+\ldots+p_1^{\alpha_1})\cdots (1+p_k+\ldots+p_k^{\alpha_k}) $, tutti i primi sono dispari, ogni parentesi deve essere dispari: segue che gli $ ~\alpha_i $ sono pari.

Ora scriviamo $ ~ n = 2^kd $ con d dispari e k>0.
Avremo che $ ~ \sigma(n) = 2n+1 $
$ ~ (2^{k+1}-1)\sigma(d) = 2^{k+1}d + 1 $
$ ~ (2^{k+1}-1)(\sigma(d) - d) = d + 1 $

Siccome d è dispari, vediamo che anche $ ~ \sigma(d) $ è dispari, quindi d è un quadrato perfetto dispari. Quindi d+1 ha solo fattori primi 1 modulo 4. Quindi ciascuno dei fattori a sinistra ha solo fattori primi 1 modulo 4. Quindi $ ~ 2^{k+1} - 1 $ ha solo fattori primi 1 modulo 4. In particolare, lui stesso è 1 modulo 4, il che è assurdo avendo supposto k>0.

edriv ha scritto: Siccome d è dispari, vediamo che anche $ ~ \sigma(d) $ è dispari, quindi d è un quadrato perfetto dispari. Quindi d+1 ha solo fattori primi 1 modulo 4.

Credo che sarebbe utile dimostrare questo fatterello...

Sia $ d=x^2 $ e supponiamo che esso abbia un fattore primo del tipo $ p=4k+3 $, il che significa che $ x^2\equiv -1 \pmod{4k+3} $, tuttavia si ha per un fatterello noto $ \displaystyle\left(\frac{-1}{p}\right)\equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}}=(-1)^{\frac{4k+3-1}{2}}=-1 $, da cui l'assurdo in quanto quest'ultima uguaglianza ci dice che -1 non è residuo quadratico per i primi del tipo 4k+3....


ora io però mi chiedo una cosa: il Sato propone questo problema nel terzo capitolo, ancor prima di introdurre le congruenze... non ci sarà una soluzione che usa meno cannoni?