OliForum Matematico

salve l' n-esimo limite in cui mi blocco e':

$ \displaystile\lim_{n\to\infty}n^{2}\log{(e^{\frac{n\log{4}-1}n}-3)}+4n $

che ho svolto cosi:

$ \displaystile\lim_{n\to\infty}n^{2}(\log{(e^{\frac{n\log{4}-1}n})-\log3)}+4n $

$ \displaystile\lim_{n\to\infty}n^{2}(\log{e^{\frac {n\log 4} n-\frac {1} n}-\log3)}+4n $

$ \displaystile\lim_{n\to\infty}n^{2}({\frac {n\log 4} n-\frac {1} n}-\log3)}+4n $

$ \displaystile\lim_{n\to\infty}n^{2}({\log 4}-\frac {1} n}-\log3)}+4n $

$ \displaystile\lim_{n\to\infty}n^{2}({\log {\frac{4} 3}-\frac {1} n})}+4n $

$ \displaystile\lim_{n\to\infty}n^{2}\log{\frac {4} 3} - n+4n $

$ \displaystile\lim_{n\to\infty}n^{2}\log{\frac {4} 3} +3n $

$ \displaystile\lim_{n\to\infty}n(n\log{\frac{4} 3 +3) $

da qui non mi pare che si possa semplificare oltre, ma se $ n\to\infty $ questo limite risulta $ \infty $ mentre il risultato e' -6... dove ho sbagliato?

J@ckH@mm€r ha scritto:salve l' n-esimo limite in cui mi blocco e':

$ \displaystile\lim_{n\to\infty}n^{2}\log{(e^{\frac{n\log{4}-1}n}-3)}+4n $

che ho svolto cosi:

$ \displaystile\lim_{n\to\infty}n^{2}(\log{(e^{\frac{n\log{4}-1}n})-\log3)}+4n $

Da dove salta fuori quel log 3 ?

Gridare è maleducazione. -- EG

IL LOGARITMO ENTRA IN UNA SOMMA???????????????????????...?

non capisco l'ultimo messaggio.
il logaritmo di 3 e' un mio errore di scrittura , ho sbaliato quando ho provato a risolverlo sono confuso con una proprieta' dei logaritmi $ \log {\frac {a} b} =\log a - \log b $. mi spiace....

J@ckH@mm€r ha scritto:non capisco l'ultimo messaggio.

Probabilmente era solo un grido di terrore per l'aver visto log(x+y) = logx + logy. Nulla di grave

$ \displaystyle\log\left(e^{\frac{n\log4 -1}{n}} - 3\right) $

$ \displaystyle\log\left(\frac{e^{\log4}}{e^{1/n}} - 3\right) $

a sto punto se $ ~n \rightarrow \infty $ si ha che il tutto va ad un valore costante... cosa non va?

La costante è zero

giusto.

Allora, abbiamo:
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{2}\log{(e^{\frac{n\log{4}-1}{n}}-3)}+4n $=
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{2}\log({\frac{e^{\log4}}{e^{\frac{1}{n}}}-3)}+4n $=
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{2}\log({\frac{4}{e^{\frac{1}{n}}}-3)}+4n $
Sviluppando l'esponenziale fino alla potenza 2 abbiamo:
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{2}\log({\frac{4}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^{2}}}-3)}+4n $
Usando lo sviluppo di $ \displaystyle (1+x)^{\alpha} $ (con $ \displaystyle \alpha=-1 $ nel nostro caso) fino alla potenza 2 otteniamo:
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{2}\log{[4(1-\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^{2}}+\frac{1}{n^{2}})-3]}+4n $=
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{2}\log{(4-\frac{4}{n}+\frac{2}{n^{2}}-3)}+4n $=
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{2}\log{(1-\frac{4}{n}+\frac{2}{n^{2}})}+4n $
Usando lo sviluppo di $ \displaystyle \log{(1+x)} $ fino alla potenza 2 otteniamo:
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{2}(-\frac{4}{n}+\frac{2}{n^{2}}-\frac{8}{n^{2}})+4n $=
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}(-4n+2-8+4n) $=-6
Bye

anche se so' di non essere molto bravo in matematica,mi spiace essere la cuasa di urli cosi'....

un'ultima cosa :

quando parli di sviluppo di una qualsiasi funzione (in questo esercizio lo hai fatto per l'esponenziale, il logaritmo e altro) fino ad una certa potenza, cosa intedi? lo sviluppo di taylor o la scrittura di un polinomio con gli infinitesimi?

Intendo lo sviluppo di Taylor o piu' esattamente in questo caso di McLaurin visto che nei limiti che hai proposto $ \displaystyle x_0 $ della formula di Taylor e' zero. Comunque in rete puoi trovare tante dispense ed esercizi sui sviluppi di Taylor e McLaurin... Basta digitare su google ad esempio "sviluppi di Taylor"...
Comunque in generale sviluppare una funzione fino ad una certa potenza nell'intorno di $ \displaystyle x_0 $ vuol dire approssimarla al polinomio di grado piu' alto che ti permette di eliminare la forma indeterminata del limite. Non so se mi sono spiegato bene...
Bye

il mio problema e' che non riesco a ricordare gli sviluppi delle funzioni piu' frequenti come il logaritmo il seno il coseno o altro.... =(

Gli sviluppi da sapere (perché capitano di frequente negli esercizi) sono:

sin(x), cos(x), tan(x), sinh(x), cosh(x), arcsin(x), arctan(x), log(1+x), (1+x)^k, exp(x)

...uhm, basta mi pare.