OliForum Matematico

Trovare, senza usare il computer, il più piccolo n intero positivo tale che:

$ P(n) = n^2+n+41 $

non sia un numero primo.

[è quasi incredibile secondo me!].

Salva, se ricorda la soluzione, taccia.

Ed è tutto merito dell'anello degli interi di $ \mathbb{Q}(\sqrt{-163}) $...

sparo...
n=41?

no, n=40.
$ $ 40^2 + 40 + 41 = 40^2 + 80 + 1 = (40+1)^2 = 41^2 $ $

FrancescoVeneziano ha scritto:Ed è tutto merito dell'anello degli interi di $ \mathbb{Q}(\sqrt{-163}) $...

davvero?

albert_K ha scritto:no, n=40.

già... avevo fatto il raccoglimento n(n+1) e mi sn domenticato che nella parentesi ce n+1 che può essere 41

Sì. Il legame tra forme quadratiche e campi quadratici è stato molto ben studiato e storicamente lo studio delle forme quadratiche ha spinto la ricerca in teoria dei numeri. Molti dei fatti trovati da Gauss sui campi quadratici erano espressi in termini dei corrispondenti risultati per le forme quadratiche in due variabili.

Se ci mettiamo in un campo quadratico immaginario ed associamo all'ideale generato da due elementi a,b (teorema: ogni ideale di un dominio di dedekind può essere generato da due elementi) la forma quadratica data da N(ax+by) stabiliamo una corrispondenza biunivoca tra il gruppo delle classi di ideali e le classi di equivalenza di forme binarie quadratiche. Che gli interi di quel campo godano di fattorizzazione unica si interpreta dicendo che tutte le forme quadratiche di discriminante -163 sono equivalenti, e quindi rappresentano gli stessi interi.

Se n^2+n+1 fosse composto per un n<41, quel numero composto avrebbe un fattore primo minore di 41. Potrei costruire con qualche passaggio una forma di discriminante -163 che rappresenta quel fattore primo, ma questa forma dovrebbe essere equivalente a x^2+xy+41 y^2, che evidentemente non rappresenta primi minori di 41.

EDIT: Ho conferito significato all'ultima frase, che sfortunatamente ne era priva.

Aahhhah $ ~ \mathbb{Q}(\sqrt{-163}) $



non l'ho capita

Ma la cosa divertente quale dovrebbe essere? Il fatto che abbia capito la spiegazione di Veneziano e non cosa ci fa questo post in questa sezione?

Non l'avevo posta come domanda seria, solo che volevo vedere se c'era qualcuno così matto da provarli fino a 40

errore

edriv ha scritto:Aahhhah $ ~ \mathbb{Q}(\sqrt{-163}) $



non l'ho capita

Da oggi sei il mio nuovo mito

Pigkappa ha scritto:Non l'avevo posta come domanda seria, solo che volevo vedere se c'era qualcuno così matto da provarli fino a 40

Anzi rettifico

Pigkappa ha scritto:Non l'avevo posta come domanda seria, solo che volevo vedere se c'era qualcuno così matto da provarli fino a 40

ma non credo che qualcuno abbia fatto i calcoli fino a 40...