OliForum Matematico

1) Dati$ p_1,\dots ,p_n $ primi e $ a_1,\dots ,a_n $ interi tali che $ \displaystyle\sum_{i=1}^n a_i\sqrt{p_i}=0 $, allora $ a_1=\dots =a_n=0 $

(non conosco alcuna soluzione a questo problema)

2) Piu' in generale, dato un campo K, detta $ \alpha $ la radice di un polinomio irriducibile in K[x], quali polinomi, che in K erano irriducibili, lo sono ancora in $ K[\alpha] $? (suppongo che i casi $ |K|=\infty $ e $ |K|<\infty $ siano sostanzialmente distinti, ma anche di questo non sono sicuro)

Ovviamente non so risolvere neanche il secondo problema, ma spero che ci siano cose sensate da dire sull'argomento, ma non riesco ad arrivare a nulla di interessante... Vista poi la presenza di molti normalisti su forum ( ) ci sara' qualcuno esperto in materia...

Per il primo considera $ \mathbb{K}=\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_n}) $ come spazio vettoriale su $ \mathbb{Q} $, questo spazio vettoriale ha dimensione finita su $ \mathbb{Q} $ (in particolare $ [\mathbb{K}:\mathbb{Q}]=2^{n} $). Il fatto importante è che se i primi sono distinti allora:
$ [\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_i}):\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_{i+1}})]=2 $ (*)
in particolare se uno dei coefficienti (che si potrebbero prendere anche razionali) fosse non nullo, wlog supponiamo $ a_1 $, avremmo:
$ \sqrt{p_1}=a_{1}^{-1}\displaystyle\sum_{i=2}^{n}a_i\sqrt{p_i} $
Il chè contraddice (*).

Per il secondo non credo si possa dir molto infatti se $ p(x) $ è un polinomio irriducibile di grado $ n $ allora:
[Split$ (\displaystyle{K}):\displaystyle{K}]<n!+1 $ (non so come si fa il minore uguale ), ma ci sono casi in cui vale l'uguaglianza.
Anche se non sono sicuro di aver interpretato bene quello che intendevi nell'esercizio...

Grazie per aver risposto, anche se temo che dovro' disturbarti un altro po'...

1) come si dimostra che:

$ [\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_i}):\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\dots,\sqrt{p_{i+1}})]=2 $ ? Scusami, ma e' meglio se non dai nulla per scontato, vista la mia (im)preparazione sull'argomento...

2) Grazie per il fatto interessante che citi, cioe' $ [\mbox{split}(\displaystyle{K}):\displaystyle{K}]\le n! $ (non ti immagini quanto ci ho messo a imparare il LaTeX...), ma piu' che altro quello che avrei voluto sapere, anche se forse non e' una domanda a cui si puo' rispondere brevemente, e' se esiste un modo per determinare quali polinomi, estendendo un campo, continuano ad essere irriducibili...

Ad esempio se io prendo $ \mathbb{Q}[\sqrt{3}] $, $ x^2-75 $, che era irriducibile in Q, ora non lo e', mentre $ x^2-5 $ era irriducibile in Q e lo e' ancora. Ma questi sono casi in cui e' banale verificare l'irriducibilita' o meno del polinomio, per il caso generale come si procede? Comunque, ripeto, questa e' una mia curiosita' personale, e' possibilissimo che non esista alcuna regola generale...