OliForum Matematico

trovare le ultime tre cifre di

2003^2002^2001 (si intendono potenze "in colonna" )

Cosi?

$ \displaystyle 2003^{2002^{2001}} $

yes

361 può essere?

io punto sul 009

Potrebbe essere 729?

Cambio idea: vedete sotto

Hihi 3 risultati diversi! Jordan illuminaci!

Hihi 3 risultati diversi! Jordan illuminaci!

Io sono d'accordo con Juggler.

Cioè, se non ho sbagliato i conti:

$ $ 3^{100} \equiv 1 \pmod{1000} $ $
$ $ 2^{2001} \equiv 2 \pmod{100} $ $

quindi $ $ 2003^{2002^{2001}} \equiv 3^2 = 9 \pmod{1000} $ $

Perchè hai fatto l'esponente modulo 100?

riscrivo più precisamente i passaggi

ovviamente $ $ 2003 \equiv 3 \pmod{1000} $ $
ora per eulero $ $ 3^{\phi(1000)} = 3^{100} \equiv 1 \pmod{1000} $ $
quindi uso il modulo 100 per studiare l'esponente e trovo che
$ $ 2002^{2001} \equiv 2^{2001} \equiv 2 \pmod{100} $ $ (Ho scomposto in$ $ 2^2 $ $ e $ $ 5^2 $ $ e ho applicato TCR).
in definitiva $ $ 2002^{2001} = 100k + 2 $ $ per qualche $ $k \in \mathbb{Z}$ $,
quindi $ $ 3^{100k+2} \equiv 1\cdot 3^2 = 9 \pmod{1000} $ $

$ \phi(1000)=400 $

ooops...

allora arrivo solo a dire che

$ $2003^{2002^{2001}} \equiv 3^{152} \pmod{1000} $ $

albert_K ha scritto: ooops...

allora arrivo solo a dire che

$ $2003^{2002^{2001}} \equiv 3^{152} \pmod{1000} $ $

$ $2003^{2002^{2001}} \equiv (3^{(400 \cdot 5+2)})^{2001} \equiv 9^{2001} \equiv 9 \pmod{1000} $ $

Vediamo il ragionamento che ho fatto io...

Intanto diciamo che se
$ a\equiv b \mod{n}\Rightarrow a^3\equiv b^3 \mod{n^3} $
Perciò ho pensato di analizzare $ \mod 10 $ la radice cubica di$ 2003^{2002^{2001}} $
Per applicare il teorema di eulero andiamo ad analizzare l'esponente di$ 2003 \mod{4} $
Dato che
$ 2002^{667}\equiv 0 \mod{4} $
Quindi $ 2003^{2002^{667}}\equiv 2003 \equiv 1 \mod10 $
Elevando al cubo $ 2003^{2002^{2001}} \equiv 1 \mod {10} $ O.o

Dove sbaglio?
Ho qualche dubbio sul passaggio della radice cubica...
Che ne pensate?
(Abbiate pietà )