OliForum Matematico

Sia ABC un triangolo rettangolo in A.
Sia n un intero positivo e $ ~ P_1, P_2,\ldots,P_n $ n punti nel triangolo.

Dimostrare che esiste una permutazione di n punti $ ~ \sigma $ tale che
$ ~ \overline{P_{\sigma(1)}P_{\sigma(2)}} ^2 + \overline{P_{\sigma(2)}P_{\sigma(3)} }^2 + \ldots + \overline{P_{\sigma(n-1)}P_{\sigma(n)}} ^2 \le \overline{BC}^2 $ dove $ ~ \overline{XY} $ è la lunghezza del segmento XY.

Credo di aver trovato, se non una dimostrazione da 7 punti, almeno una traccia per arrivare fino in fondo. Purtroppo temo che non riuscirò a postarla prima del weekend causa impegni scolastici.

In effetti Feddy ha detto che non posterà prima del weekend, ma non che posterà dopo il weekend... quindi sentitevi liberi di rispondere eh!

Sul ciascun cateto di ABC si
può costruire un numero infinito di triangoli rettangoli con esso come ipotenusa.
Ognuno di questi triangoli avrà l'uno e l'altro cateto di misura minore
che l'ipotenusa: cioè esiste un segmento con estremi interni ad ABC che ha la stessa lunghezza. E sui
cateti di questi 'secondi' triangoli, dei triangoli rettangoli 'terzi', e così via.
La somma delle aree dei quadrati sui cateti è uguale all'area del quadrato sull'ipotenusa (! notevole assai...; domanda: come lo si dimostra?).
Così con amplia scelta si posson sommare quadrati di misure di segmenti
che diano l'area del quadrato costruito sull' un cateto di ABC o l'altro o entrambi. i.e.
l'area del quadrato sull'ipotenusa (la misura BC al quadrato).
Invero, potremmo già considerare in partenza due segmenti a e b di lunghezza differente dai cateti AB ed AC, purchè a e b siano cateti rispetto BC.
Ora, per ogni triangolo costruito, avremo un segmento in più che precedentemente: così 2,3,..., (n/2).
Casi limite, la scomposizione in triangoli simili per altezza relativa
all'ipotenusa ci darà dei segmenti la cui misura al quadrato potremo sommare
per avere la misura di BC al quadrato.

(ma così punti P(1,2,...,n)sarebbero coincidenti? non
necessariamente! chè ci interessano quelle lunghezze, non la loro posizione relativa -si pongoni i punti P(1,2,...n) all'interno di ABC come a coppie estremi di quei segmenti)

Che quella somma sia minore, basta che uno di quei segmenti sia più breve!

Le osservazioni che hai fatto sono certo molto interessanti e si avvicinano al cuore del problema...

... però la dimostrazione del problema?