OliForum Matematico

vorrei sapere come si risolve:
lim (x-->+inf)(2arctgx-pigreco)/(log((x+1)/x))
vorrei delineato il procedimento...grazie [/code]

Tocca a me dirlo stavolta? Questo è un forum olimpico che non serve ad aiutare chi come te, blablabla.

Detto questo,

$ \lim_{x\to\infty} \frac{2\arctan(x-\pi)}{\log(\frac{x+1}{x})} $

così almeno chi arriva lo legge meglio

scusami ma nn sopave come inserire i simboli...cmq so che si scrive cosi. é la prima volta che utilizzo questo sito...cmq grazie mille

Rispondo io sperando che la domanda sia stata fatta per imparare e non per avere la pappa pronta.

$ \displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{2\arctan(x-\pi)}{\log(\frac{x+1}{x})} = 2 \lim_{x\to\infty} \frac{\arctan x}{\log \left( 1+\frac{1}{x} \right)} = $

Ciò perché infinito meno un numero finito è uguale ad infinito e perché il valore di un limite di una costante per una funzione è uguale ad valore della costante per il limite della funzione

$ \displaystyle = 2 \lim_{x\to\infty} \frac{ \frac{ \pi }{2}}{ \log \left( 1+\frac{1}{x} \right)} = \lim_{x\to\infty} \frac{\pi }{\log 1} = + \infty $

Anche se avessi considerato $ arctan x = \frac{3 \pi}{2} $ il risultato non cambierebbe, in quanto sarebbe sempre un numero reale finito diviso per un numero che tende a zero e darebbe sempre + infinito.
Ciao,

Startrek

P.S. Sconsiglio di intitolare un topic "help". Se tutti facessero così diventerebbe inutile dare titoli ai topic. Usate titoli esplicativi, piuttosto.

Comunque penso che il limite fosse:
$ \displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{2\arctan(x)-\pi}{\log(\frac{x+1}{x})} $
altrimenti si risolve come ha fatto Startrek ed è facile...
Bye

Allora provo a risolvere l'altro limite.
$ \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2\arctan(x)-\pi}{\log(\frac{x+1}{x})} $=
$ \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2\arctan(x)-\pi}{\log(1 + \frac{1}{x})} $
Sviluppando il $ \displaystyle \log(1+t) $ fino al primo ordine otteniamo:
$ \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2\arctan(x)-\pi}{\frac{1}{x}} $=
$ \displaystyle \lim_{x\to\infty}x(2\arctan(x)-\pi) $
Ponendo la sostituzione $ \displaystyle \arctan(x)=y $ otteniamo:
$ \displaystyle \lim_{y\to\frac{\pi}{2}}(2y-\pi)\tan(y) $
Ponendo la sostituzione $ \displaystyle 2y- \pi=z $ otteniamo:
$ \displaystyle \lim_{z\to 0}z\tan(\frac{z+ \pi}{2}) $=
$ \displaystyle \lim_{z\to 0}\frac{z}{\cos(\frac{z}{2}+\frac{\pi}{2})} $=
$ \displaystyle \lim_{z\to 0}\frac{z}{-\sin(\frac{z}{2})} $=
$ -2 \displaystyle \lim_{z\to 0}\frac{\frac{z}{2}}{\sin(\frac{z}{2})} $=-2
Bye

Si risolve lo stesso...
Basta applicare il teorema di De L'Hospital e si ottiene
$ \displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{2\arctan(x)-\pi}{\log(\frac{x+1}{x})} = 2 \lim_{x\to\infty} \frac{ \frac{1}{1+x^2} }{ \frac{1}{ \frac{x+1}{x}} \cdot \frac{x-x-1}{x^2}} = 2 \lim_{x\to\infty} \frac{ \frac{1}{1+x^2} }{ \frac{-x}{(x+1)x^2} } = $

$ \displaystyle = 2 \lim_{x\to\infty} \frac{ \frac{1}{1+x^2} }{ \frac{-1}{(x+1)x} }= 2 \lim_{x\to\infty} \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{(x+1)x}{-1}= 2 \lim_{x\to\infty} \frac{x^2+x}{-x^2-1} = $
Dato che, parlando in calcolo simbolico $ \infty^2 - \infty = \infty^2 $ e $ \infty - n = \infty $, dove n è un numero reale finito, si ottiene...

$ \displaystyle = 2 \lim_{x\to\infty} \frac{x^2}{-x^2} =-2 $

Se ho fatto qualche errore dite pure.
Ciao,

Startrek

P.S. flexwifi, ho postato un secondo dopo di te e non mi è molto chiaro dove dici...

flexwifi ha scritto:Sviluppando il $ \displaystyle \log(1+x) $ fino al primo ordine otteniamo:

P.S. flexwifi, ho postato un secondo dopo di te e non mi è molto chiaro dove dici...

Si tratta dello sviluppo di McLaurin di $ \displaystyle \log(1+t) $ fino alla potenza di ordine 1.
Oppure vedilo come una derivazione dal limite notevole:
$ \displaystyle \lim_{t \to0}\frac{\log(1+t)}{t}=1 $
In questo caso puoi dire che la funzione $ \displaystyle f(t)=\log(1+t) $ e la funzione $ \displaystyle g(t)=t $ per $ t\to0 $ si comportano allo stesso modo e puoi sostituire una con l'altra nel calcolo del limite. Non so se è chiaro... Comunque con De L'Hospital andava bene lo stesso...
Bye

P.S. ho sostituito x con t perché forse ci si poteva confondere col nome delle variabili...

flexwifi ha scritto: Non so se è chiaro

Tranquillo, mi hai chiarito tutto
Ciao,

Startrek

grazie mille ho capito perchè viene -2...perchè nn avevo notato che fossero entrambi elevati al quadrato che poi moltiplicato per due mi dava il risultato grazie mille!!!!