OliForum Matematico

Consideriamo le permutazioni su n oggetti.

Sia A un insieme di cicli (chiaro cos'è un ciclo, no? ad esempio 1 -> 3 -> 2 -> 4 -> ... -> n -> 1) chiuso rispetto alla composizione. (ci tocca considerare l'identità come un ciclo)
Dimostrare che esiste un elemento di A tale che, componendo tante volte questo elemento, troviamo tutti gli elementi di A.

Ma sto insieme di fatto è un gruppo?
...mmm.. forse mancano gli inversi degli elementi?

Comunque in pratica chiedi se in questa 'struttura' c'è un generatore?

Essendo chiuso per composizione, essendo la composizione associativa, direi piuttosto che è un monoide..

Essendo un sottoinsieme di un gruppo finito, chiuso rispetto all'operazione, possiamo ben dire che è un sottogruppo

(però visto che l'ho messo in matematica olimpica, ho preferito evitare di usare questa terminologia... si fa tranquillamente senza saper niente sui gruppi)

Sicuro, Edriv? Mi piacerebbe vedere una dimostrazione, perche' il tuo claim e' falso.

Vediamo... intanto vedo che le ipotesi implicano che n è primo. Se n si scompone come n=ab, considero un ciclo $ \sigma \in A $. Allora possiamo vedere facilmente che $ ~ \sigma^a \in A $ non è un ciclo, ma il prodotto di b cicli disgiunti.

(ok, n è un primo o n=1)

Fissiamo $ ~ \tau \in A $ in modo che tau non sia l'identità. Sia $ ~ \sigma \in A $ un qualsiasi elemento di A. Facciamo agire questi cicli su 1,2,...,n. Per un certo k, si avrà $ ~ \sigma^k(1) = \tau(1) $, semplicemente perchè applicando ripetutamente sigma, facciamo girare ad 1 tutti i valori, tra cui anche $ ~ \tau(1) $.
Da $ ~ \sigma^k(1)=\tau(1) $ otteniamo $ ~ \sigma^k \tau^{-1}(1) = 1 $. Faccio notare che $ ~ \sigma^k\tau^{-1} \in A $, quindi è un ciclo o l'identità. Avendo un punto fisso, dovrà essere l'identità. Quindi $ ~ \sigma^k \tau^{-1} = \mbox{id} $, quindi $ ~ \sigma^k = \tau $.

Ah, capito. Abbiamo una definizione diversa di ciclo.

Per te un ciclo e' una permutazione senza punti fissi. Per me invece e' una permutazione, che scritta in cicli disgiunti, ha un solo ciclo [non banale].

Nel secondo caso, basta prendere banalmente il gruppo simmetrico su tre elementi per vedere che non funziona.

Per me un ciclo è una permutazione che, scritta in cicli disgiunti, ha un solo ciclo.
E inoltre nell'enunciato del problema ho aggiunto che in A ovviamente è ammessa anche l'identità.

Come conseguenza, un ciclo (a meno che non sia sulle permutazioni di un elemento...) non può aver punti fissi, però... mi sa che non ci siamo capiti!

Ho capito, e sono d'accordo: avevamo interpretato che cos'e' un ciclo in modo diverso.

Leggiti di grazia come hai scritto la definizione di ciclo. Da li', capire se ci sono o meno punti fissi, non e' esattamente ovvio. Insomma, un 2-ciclo e' un ciclo in S2, ma non lo e' in S3...

Ma mi sembra che il dubbio sia stato chiarito, o no?

Chiaritissimo!!