Nel mio caso il triangolo UVA (Bertolo ha scritto:Quest'ultimo caso è però assurdo in quanto un triangolo rettangolo con i lati interi non può avere come area un quadrato perfetto, come dimostrato da Fermat.
) sarebbe rettangolo e avrebbe area $ \displaystyle\frac{b^2}{4} $, assurdo.Comunque, scrivo una dimostrazione di quel teorema (di cui tra l'altro ignoravo l'esistenza):
$ u^2+v^2=a^2 $ implica che (wlog) $ u=k(c^2-d^2) $ e $ v=2kcd $ con $ (c,d)=1 $
Per cui $ 4k^2(c^2-d^2)cd $ e' un quadrato, quindi $ (c^2-d^2)cd=e^2 $ con $ e\in\mathbb{Z} $
Siccome $ cd $ e $ (c^2-d^2) $ sono coprimi e il loro prodotto e' un quadrato, allora sono entrambi quadrati. Siccome $ c $ e $ d $ sono coprimi e il loro prodotto e' un quadrato, allora sono entrambi quadrati. Quindi $ c=f^2 $, $ d=g^2 $ e $ c^2-d^2=h^2 $ da cui $ g^4+h^2=f^4 $ e ho un controesempio piu' piccolo al teorema di Pigkappa (ah, ecco dov'era la discesa infinita...)
Ovviamente questa dimostrazione andrebbe formalizzata, scrivendo tutti i passaggi con ordine e dimostrando che il controesempio finale e' effettivamente piu' piccolo di quello iniziale eccetera, ma non ci vuole poi molto e poi, come ho detto all'inizio, io ho scritto piu' un ammasso di idee che una dimostrazione...
ciaociao
avevo fatto un'altra diofantea $ x^2+y^4=z^2 $ e ho pensato "Ma questa è quella del forum!" e ho postato senza controllare