OliForum Matematico

Call aveva proposto un teorema dimostrato per la prima volta da Fermat. Eccone una versione modificata e un po\' più sempice:
<BR>Determinare tutte le soluzioni intere dell\'equazione x²=y³+16.
<BR>Buon lavoro!
<BR>Ciao[addsig]

soluzione banale X=4 Y=0
<BR>
<BR>(4+a)^2 = (0+b)^3 + 16
<BR>
<BR> 16 (a+1 2) = b^3
<BR>
<BR>si tratta quindi di trovare tutti i coefficienti
<BR>binomiali di ordine 2 che siano nella forma
<BR> 4*w^3
<BR>
<BR>... e a questo punto mi son fermato...

Ci ho provato oggi al mare... quindi...
<BR>y^3=x^2-16 --> y^3=(x+4)(x-4)
<BR>
<BR>Se x (2n+1) è dispari allora x+4 e x-4 sono primi tra loro. Infatti si avrebbe che 2n+5==0(mod k) e contemporaneamente 2n-3==0 (mod k) quindi 2n+5=kx e 2n-3=ky, sottraendo si avrebbe che k(x-y)=8. Ora dalle due ugualglianze prima di questa si ha che k, x e y devono essere necessaramente dispari, quindi k è dispari e x-y è pari. Essendo 8 =2^3 l\'unica possibilità è che k sia 1, quindi x+4 e x-4 sono primi tra loro e devono essere quindi entrambi due cubi, è evidente che non esistono due cubi la cui differenza è 8. (basta contare...)
<BR>x è quindi pari, con lo stesso criteriop si mostra che gli MCD possibili tra x+4 e x-4 (con x pari) sono 2, 4 e 8. L\'8 è l\'unico accettabile infatti con il 2 si avrebbe y^3=4p*q (pe q primi tra loro) tra p e q uno dovrebbe essere divisibile per 2*2^3k (con k anche 0), mettiamo q, quindi (x-4) (o x+4, fa lo stesso) sarebbe congruo a 0 modulo 4*2^3k e x+4 sarebbe di conseguenza congruo a 8 mod 4*2^3k e quindi divisibile per 4 contro l\'ipotesi che l\'MCD fosse 2. Lo stesso ragionamento si fa per l\'MCD = a 4.
<BR>Consideriamo l\'ultimo caso, MCD=8. Per avere che x+4 e x-4 siano congrui a zero mod 8 x deve essere uguale a 8k+4, quindi y^3=(8k+<IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">(8k) --> Y^3=64*k*(k+1). n ed n+1 sono primi tra loro e devono essere entrambi cubi. l\'unica possibilità è che sia k=0, quindi x=4 e y=0.
<BR>
<BR>Cia cia, spero che non sia bacata, anche se l\'ho fatta in spaggia
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

Ciao Gauss e complimenti!
<BR>Ho guardato velocemente la tua dimostrazione e penso che sia giusta: oltretutto è quasi identica alla mia.
<BR>Un\'unica cosa (peccato veniale): ti sei dimenticato di dire che anche la coppia
<BR>(-4,0) è una soluzione.
<BR>A questo punto, sempre su Fermat, si può tentare l\'azzardo. Tutti conosciamo l\'Ultimo Teorema. Proviamo a risolverne un caso partcolare, l\'unico di cui sia stata rinvenuta una dimostrazione originale dello stesso Fermat:
<BR>dimostrare che l\'equazione
<BR>x^4+y^4=z^4 non ha soluzioni intere per x,y,z diversi da 0 e 1.
<BR>Ciao
<BR>
<BR>
<BR>[addsig]
<BR>
<BR><font size=1>[ This message was edited by: [addsig] on 2001-06-22 11:52 ]</font><BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: lordgauss on 2001-06-22 11:53 ]</font>

Casper! mi dimentico sempre che esistono i numeri negativi e quando si parla di interi si intendono quelli maggiori, uguali e MINORI di zero... vabbè, pace