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Siano a,b,c,d reali positivi tc $ a+b+c+d=4 $
Dimostrare che:
$ a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab\le 4 $

4 GM-$ M_{4} $ ponderate da sommare

Medie + Chebychev

Disuguaglianze + altre disuguaglianze.

Qualcuno potrebbe postare una soluzione, almeno abbozzata, per favore?

Si anche a me è venuta con Chebycheff e medie. Allora..
Riscrivo la tesi come :
$ S=\displaystyle\frac{a^2bc+ b^2cd+c^2da+d^2ab}{4}\le 1 $
$ S=\displaystyle\frac{a^2bc+ b^2cd+c^2da+d^2ab}{4}\bigg(\frac{d+a+b+c}{4}\bigg) $$ \displaystyle\le \frac{a^2bcd+ab^2cd+abc^2d+abcd^2}{4}=Q $
Sfruttando $ a+b+c+d=4 $ si ha per AM-GM che $ abcd\le 1 $
Quindi: $ Q\le \displaystyle \frac{a+b+c+d}{4}=1 $.

E ora cerco di capire come si fanno le parentesi tonde più grandi EDIT:capito

edriv ha scritto:Disuguaglianze + altre disuguaglianze.

Naturalmente si poteva anche fare con:
Induzione + pigeonhole!

EUCLA ha scritto:$ S=\displaystyle\frac{a^2bc+ b^2cd+c^2da+d^2ab}{4}\bigg(\frac{d+a+b+c}{4}\bigg) $$ \displaystyle\le \frac{a^2bcd+ab^2cd+abc^2d+abcd^2}{4}=Q $

Attenta: questa disuguaglianza non è sempre vera!
Un controesempio semplice è $ \displaystyle \left(3,\frac12,\frac1{32},\frac{15}{32} \right) $

cavoli devon esser ordinate..

Allora rieccomi
$ S=a^2bc+b^2cd+c^2da+d^2ab\le 4 $

Per risolvere il problema dell'ordinamento ho fatto così (controllando poi su mathlinks
dovrebbe essere una cosa giusta..ma ditemi se sbaglio..):

considero $ \sigma(a\ b\ c\ d) \rightarrow (a\ b\ c\ d) | a\ge b\ge c\ge d $

$ S \le a^2bc+b^2ad+c^2ad+d^2bc= (ac+bd)(ab+dc)=Q $ per riarrangiamento

Ora, per AM-GM $ (ac+bd)(ab+dc) \le \displaystyle\bigg(\frac{ac+bd+ab+dc}{2}\bigg)^2 $
$ ac+bd+ab+dc=(a+d)(b+c)\le \displaystyle \bigg(\frac{a+b+c+d}{2}\bigg)^2 $
Quindi $ Q \le \displaystyle \bigg[\frac{(\frac{a+b+c+d}{2})^2}{2}\bigg]^2=4 $