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Non riesco a dimostrare il secondo punto del seguente famosissimo Teorema...
Non ho molti libri al momento da consultare e non sono riuscito a trovare una risposta soddisfacente nemmeno sul web...

CRITERIO DEL RAPPORTO
Sia $ \left\{x_n\right\}_n $ una successione numerica. Tale successione è infinitesima (cioè $ \displaystyle \lim_n x_n=0 $ se una delle seguenti condizioni è soddisfatta:

1) $ \displaystyle \exists \ \ \ 0<b<1 $ tale che $ \displaystyle |{\frac{x_{n+1}}{x_n}}|<b \ \ \forall n $
2) $ \displaystyle \lim_n |{\frac{x_{n+1}}{x_n}}|<1 $

Ringrazio anticipatamente chiunque mi darà una mano!
P.S. E' piuttosto urgente!

ma la seconda condizione non significa semplicemente che da un certo punto in poi quel rapporto sarà minore di 1?

Se hai dimostrato il primo punto il secondo non dovrebbe dare problemi...
Se il limite (chiamiamolo L) è minore di 1 vuol dire che $ ~ \left|\frac{x_{n+1}}{x_n}\right| $ è definitivamente minore di ogni b con $ ~ 0\leq L<b<1 $ e quindi puoi usare il punto 1 per concludere (trascurando un numero finito di termini iniziali della successione).

Ok! Grazie....avevo fatto un po' di confusione!