OliForum Matematico

Due amici si mettono d'accordo per stupire i compagni con un gioco di prestigio.
Si fanno dare una serie di n cifre scelte dal pubblico, uno dei due amici la guarda, cancella un numero, e poi la passa al secondo che naturalmente non ha visto niente.
Il secondo amico riflette un attimo e poi riesce a indovinare qual'era la cifra cancellata.

Qual è il minimo n per cui questo è sempre possibile?

Cosa possono fare la premiata ditta mago/assistente? (ad es. l'assistente può riordinare la serie dopo aver cancellato il numero o il mago può vedere in che posizione era la cifra o simili)

L'assistente non può modificare la serie ma il mago vede in che posizione era la cifra.

Cioè il mago vedrà una cosa del tipo ...465846X454... dove la X è la cifra cancellata!

Allora, l'assistente ha bisogno di una funzione iniettiva dall'insieme dei numeri di n cifre a quello degli oggetti come quelli che hai esemplificato nell'ultimo post.

La cardinalità del dominio è $ 10^n $, quella del codominio è il prodotto di n (numero posti in cui posso mettere la X) per $ 10^{n-1} $, i modi di scegliere le altre cifre. Perchè la funzione sia iniettiva, deve almeno essere $ n10^{n-1} \geq 10^n \rightarrow n \geq 10 $.

D'altra parte, per 10 posso prendere come funzione "sommo le cifre, prendo A, il rappresentante privilegiato della somma mod 10, e cancello la A-esima cifra" che funziona, perchè il mago ora sa tutte le cifre tranne una e sa A, quindi deve risolvere una equazione che ha una sola soluzione mod 10, ma essendo le cifre <10 sa anche quale cifra è.

Dunque il minimo n è proprio 10.

Ciao!