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È un po' tecnico ma secondo me è carino... L'Halliday lo dà come esercizio facile ma secondo me è almeno un po' meglio degli altri di questo tipo.

Si consideri un circuito formato da un resistore R con resistenza variabile, un induttore L ed un condensatore C. Al circuito è collegato un generatore con frequenza di oscillazione variabile. È noto che la capacità del condensatore è $ C=5.59 * 10 ^{-6} F $ e che, tenendo fissa la resistenza, la corrente prodotta nel circuito è pari alla metà del valore massimo quando le oscillazioni del generatore hanno frequenza $ f_1 = 1300 Hz $ e $ f_2 = 1500 Hz $.
1.)Quanto vale l'induttanza L?
2.)Se si aumenta la resistenza R, cosa succede alle due frequenze alle quali la corrente raggiunge il valore pari alla metà del massimo?

Perdonami se chiamo $ j $ l'unità immaginaria (deformazione professionale...)

Passando nel dominio dei fasori, valgono le seguenti trasformazioni:
- ammettendo che il generatore eroghi una d.d.p. pari a $ \cos(\omega t) $, quest'ultimo diventa $ 1 $
- il condensatore $ C $ diventa $ \frac{1}{j \omega C} $
- l'induttore L diventa $ j \omega L $.

La corrente che scorre nel circuito in funzione della variabile complessa $ j \omega $ è allora
$ \displaystyle I(j \omega )= \frac{V(j \omega)}{Z (j \omega)}= \frac{1}{ R + j \omega L + \frac{1}{j \omega C}} $.
Calcolandone il modulo,
$ \displaystyle |I(j \omega)|= \frac{\omega C}{\sqrt{\omega^2C^2 (\omega^2 L^2+ R^2)- 2 \omega^2 LC +1}} $.
Annullando la derivata, si trova che $ |I(j \omega)| $ è massimo se $ \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} $
(come dovevacisi aspettare!), e che il suo valore è $ \frac{1}{R} $.
Si ottiene dunque il sistema di due equazioni nelle due incognite $ L $ ed $ R $

$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{rl} |I( j 2 \pi f_1)|=\frac{1}{2R}\\ |I( j 2 \pi f_2)|=\frac{1}{2R} \end{array} \right. $

da cui $ \dysplaystyle L=\frac{f_2 - f_1 }{4 \pi^2 C f_1 f_2 (1 - f_2)} $.

In quanto alla seconda questione, poichè la frequenza di risonanza è un'invariante,
il massimo della funzione tende ad abbassarsi all'aumentare di $ R $,
ed è facile notare che le frequenze di taglio $ f_1 $ e $ f_2 $ si spostano, la prima verso $ 0 $,
la seconda verso infinito.