OliForum Matematico

Uno spunto interessante in una (pallosa) lezione di algebra lineare...

Sia $ $V=\{x\in\mathbb{R}\ |\ x>0\} $. Chiaramente $ $(V,*) $, dove * è l'usuale prodotto, è un gruppo abeliano.

Definire su $ $V $ una struttura di spazio vettoriale su $ $\mathbb{Q} $, in modo che la prima operazione ("la somma") sia * (l'usuale prodotto in $ $\mathbb{R} $).

Quante strutture di questo tipo si possono costruire?

E' vero che ogni gruppo abeliano si "atteggia" a $ $\mathbb{Q} $-spazio vettoriale?

Trovare in $ $V $ almeno un insieme infinito linearmente indipendente.

Alt! ci ha già pensato l'AP (Anonima Psicologi, per chi ancora non lo sapesse), ma c'è una sorta di competizione in corso, per cui siete pregati di aspettare all'incirca una settimana prima di postare eventuali soluzioni. È un esercizio settimanale dato a lezione, eccheccacchio.

c*lo chi risponde

Ma chi sarà mai questa Anonima Psicologi?!?
Comunque non ho postato per avere la soluzione...a quella sono in grado di pensarci da solo...
In ogni caso meglio aspettare una settimana per postare le soluzioni, come suggerisce l'AP...
Intanto lavorateci su!

Up!Ora si può pure postare la soluzione!

La cosa curiosa è che l'Anonima Psicologi non è stata l'unica a consegnarne una soluzione corretta...c'era anche un Anti-Anonima Psicologi!

Cerco di rispondere... anche se magari qualche domanda non è chiarissima.
Intanto notiamo che, siccome $ ~ e^{x+y} = e^x \cdot e^y $, (V,*) è isomorfo a (R,+).

Però (R,+), essendo un campo che contiene Q, è naturalmente uno spazio vettoriale su Q. Sul V l'operazione esterna diventa $ ~ r^q $ (dove r è reale e q razionale...), però a questo punto è insensato usare V al posto di R...

Ora, sia * una operazione esterna buona per (R,+) come spazio vettoriale su Q, . la normale moltiplicazione tra reali. Sia v un reale. Allora 1*v = v per assioma. Inoltre, sempre per gli assiomi: 1*(n.v) = 1*(v+v+...+v) = 1*v + ... + 1*v = (1+....+1)*v, quindi se n è naturale allora n*v = nv. Se $ ~ q=\frac ab \in \mathbb{Q} $ allora per quanto detto ora $ ~ q*v = \frac ab * v =\frac ab * (b \cdot \frac 1b \cdot v) = \frac ab * (b * ( \frac 1b \cdot v) = a * (\frac 1b \cdot v) = \frac ab \cdot v $, quindi * è la normale moltiplicazione e la risposta alla domanda è "una sola".


- un gruppo abeliano per atteggiarsi a Q-spazio vettoriale dovrebbe almeno non avere nessun elemento con ordine finito (a parte l'identità), questo perchè se $ ~ (a+a+...+a) = 0 $ allora $ ~ 0=1*(a+a+ \ldots +a) = 1*a + 1*a + \ldots + 1*a = (1+1+\ldots +1)*a = n*a = 0 $. Moltiplicando per 1/n, vediamo che $ ~ 1*a = a = 0 $.

Per l'ultima beh, trovare è una parola grossa... esplicitamente non saprei dirlo.
Però supponendo che R sia a dimensione finita su Q, per un noto teorema deve essere isomorfo a $ ~ Q^n $, che è numerabile, assurdo.

Un sistema infinito di vettori indipendenti di $ (\mathbb{R},+) $ come spazio vettoriale su $ \mathbb{Q} $ potrebbe essere l'insieme delle radici quadrate dei numeri primi positivi, anche se questo ovviamente non è una base, sia per un fatto di cardinalità come diceva edriv, sia perchè tutto ciò che si può generare da questi sono numeri algebrici (e nemmeno tutti...), comunque è un insieme infinito di vettori indipendenti.

Altri insiemi in $ $V $ infiniti linearmente indipendenti sono:
- l'insieme dei numeri primi (infatti $ $\prod p_i^{q_i}=1 \Longleftrightarrow q_i=0 \ \forall i $)
- $ $\big\{\pi+q\ |\ q \in \mathbb{Q}\big\} \cap V $

Sebbene la cosa sia stata evidenziata già da edriv e Stoppa2006, rilancio:

- dimostrare che esiste un insieme equipotente ad R e linearmente indipendente (stando nello spazio vettoriale V su Q).

Ahi ahi non si bara così con gli esercizi della settimana!