OliForum Matematico

Alura, essendomi piantato sul terzo problema di edriv, che ancora non mi viene, ve ne propongo un altro che sfortunatamente non raggiunge l'edrivea serie ne' in difficolta' ne', soprattutto, in bellezza.

Siano $ \alpha ,\beta\in\mathbb{C} $ tali che:

-$ \alpha +\beta\in\mathbb{Z} $
-$ \alpha\cdot\beta\in\mathbb{Z} $
-$ \forall n\in\mathbb{Z}^+\;\; (\alpha ^n+\beta ^n,\alpha ^n\cdot\beta^n)=1 $
-$ \forall n\in\mathbb{Z}^+\;\; \alpha ^n\neq\beta ^n $

Poniamo $ \displaystyle L_n=\left|\frac{\alpha ^n-\beta ^n}{\alpha -\beta}\right| $ (dove le stanghette indicano il valore assoluto...)

TESI: $ L_n $ e' una sequenza di Mersenne.

COROLLARIO: $ F_n $ e' una sequenza di Mersenne (intendo i Fibonacci)

Forse c'e' qualche ipotesi di troppo, in tal caso perdonatemi (e magari avvisatemi anche...)

Bonne Chance

Per evitare certi sogni, magari prova a mangiare meno pesante...

La pubblicita' funziona...

piever ha scritto:[...]
-$ \forall n\in\mathbb{Z}^+\;\; (\alpha ^n+\beta ^n,\alpha ^n\cdot\beta^n)=1 $
[...]
Forse c'e' qualche ipotesi di troppo, in tal caso perdonatemi (e magari avvisatemi anche...)

Questa ipotesi la puoi sostituire con una molto piu' semplice:

$ (\alpha + \beta, \alpha\beta) = 1 $.

Si usa il fatto ovvio che, dati interi $ p, q $ allora $ (p,q^t) \neq 1 \iff (p,q) \neq 1 $ per una qualunque potenza positiva $ t $. [Th. di fattorizzazione unica]

Fissa un esponente $ n $.

Tu vuoi $ (\alpha^n + \beta^n, \alpha^n \beta^n ) \neq 1 $, che e' vero sse $ (\alpha^n + \beta^n, \alpha \beta ) \neq 1 $.

Ora pero' espandendo il binomio, si trova che
$ \alpha^n + \beta^n = (\alpha + \beta)^n + X \alpha \beta $, per un certo numero $ X $.

Ora, si vede subito che $ X $ e' razionale, ma in realta' e' intero. Lo vedi sommando a due a due i termini simmetrici:
$ \binom{n}{k} \alpha ^k \beta^{n-k} + \binom{n}{n-k} \alpha ^{n-k} \beta^k = \binom{n}{k} (\alpha \beta)^k (\alpha + \beta)^{n-2k} $
e ognuno dei pezzi e' intero. [quando c'e', il termine centrale dello sviluppo e' banalmente intero, perche' e' potenza di $ \alpha\beta $.

$ X $ e' somma di interi, quindi e' intero. Ma allora, il MCD voluto e' uguale a $ ((\alpha + \beta)^n, \alpha \beta) $ che e' diverso da 1 sse lo e' $ (\alpha + \beta, \alpha \beta) $. []

Uh, grazie Marco, non mi ero reso conto di aver messo senza alcun motivo un'ipotesi inutile e noiosa da controllare...

A simo: ho la soddisfazione personale di aver generalizzato più di Hit (a,b in C), però mi sarebbe piaciuto postare un problema nuovo

Cmq non ci avevo pensato che questa roba implica il mitico LEMMA DI KNUTH!!!!