O anche, equivalentemente, si osserva che la prima riga possiede 5 elementi, la seconda 6 elementi, la terza 7 elementi, ..., l'$ ~n $- esima $ ~n+4 $ elementi. Chiamiamo $ ~e_n $ il numero di elementi dell'$ ~n $- esima riga, sarà $ ~e_n=n+4 $
La prima riga inizia per 1, la seconda per 6, cioè il numero di elementi della prima riga aumentato di uno, la terza per 12, cioè la somma del numero degli elementi della prima e della seconda riga aumentato di uno, ..., l'$ ~n $- esima riga inizierà quindi per un numero che è la somma del numero degli elementi di tutte le righe precedenti aumentato di uno. Chiamiamo $ ~a_n $ il numero iniziale della riga $ ~n $- esima, sarà:
$ \displaystyle a_n=1+ \sum_{i=1}^{n-1} e_i = 1+ \sum_{i=1}^{n-1} (i+4) = 1+4(n-1)+ \sum_{i=1}^{n-1} i= $
$ \displaystyle =1+4(n-1)+\frac {n(n-1)}{2}= \frac {n^2+7n-6}{2} $
La prima riga finisce per 5, la seconda per 11, perchè sarebbe il numero iniziale della riga presa in cosiderazione $ ~(a_2=6) $, aumentato del numero di elementi della riga precedente $ ~(e_1=5) $. Quindi si trova che la terza riga finirà per 18 $ ~(a_3+e_2=12+6) $. L'$ ~n $- esima riga finirà quindi per un numero che è la somma del termine iniziale di tale riga e del numero di elementi della riga precedente. Cioè, indicando con $ ~z_n $ il termine conclusivo dell'$ ~n $- esima riga, si ha:
$ \displaystyle z_n=a_n+e_{n-1}= \frac{n^2+7n-6}{2}+(n-1)+4=\frac{n^2+9n}{2} $
Quindi l'$ ~n $- esima riga avrà come primo elemento $ ~a_n $ e come ultimo elemento $ ~z_n $. Detta $ ~S_n $ la somma dei numeri della riga $ ~n $- esima, si ha:
$ \displaystyle S_n=\sum_{i=a_n}^{z_n} i=\frac {(z_n+a_n)(z_n-a_n+1)}{2} $
Ma
$ ~z_n=a_n+e_{n-1}\rightarrow e_{n-1}=z_n-a_n $
$ ~e_{n-1}=(n-1)+4=(n+4)-1=e_n-1 $
Quindi
$ ~z_n-a_n=e_n-1 \rightarrow z_n-a_n+1=e_n $
Allora
$ \displaystyle S_n=\frac {e_n(z_n+a_n)}{2} $
Sostituendo le definizioni di $ ~e_n $, $ ~a_n $ e $ ~z_n $, troviamo:
$ \displaystyle S_n= \frac {(n+4)[( \frac {n^2+9n}{2})+( \frac {n^2+7n-6}{2})]}{2}= \frac {(n + 4)(n^2+8n-3)}{2} $
Che è lo sviluppo e la fattorizzazione della formula trovata da jordan.
@ms88: il ragionamento funziona se i numeri fossero messi così:
$ \begin{array}{ccccccc}
\mbox{1 - riga} & \rightarrow & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\mbox{2 - riga} & \rightarrow & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
\mbox{3 - riga} & \rightarrow & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\mbox{n - riga} & \rightarrow & 5n-4 & 5n-3 & 5n-2 & 5n-1 & 5n
\end{array} $
Infatti, sommando tutti i temini dell'$ ~n $- esima riga, si ha:
$ ~(5n-4)+(5n-3)+(5n-2)+(5n-1)+5n=25n-10 $
La formula $ ~25n+15 $ equivale a $ ~25n-10 $ ponendo in quest'ultima $ ~n \rightarrow (n+1) $:
$ ~25n-10 \stackrel{n \rightarrow (n+1)}{\longrightarrow} 25(n+1)-10 =25n+25-10=25n+15 $
Ciao!
