OliForum Matematico

questo assicuro che è molto meglio..

sia c la piu grande radice positiva di x^3 -3x^2 +1.
mostrare che 17 divide [c^1788]+[c^1988].

Che problema carino! Ci avevo provato (fallendo sempre) più di una volta e stamattina mi è venuto alla svelta, finalmente...
Siano $ a,b,c $ le radici del nostro polinomio.

Dato che $ f(-1)<0, f(0)>0, f(1)<0, f(3)>0 $ abbiamo che a e b hanno modulo minore di 1.

Consideriamo $ a_n=a^n+b^n+c^n $. Abbiamo che:

$ a_0=3, a_1=a+b+c=-(-3)=3, a_2= $$ a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=3^2-0=9 $, ed inoltre la successione rispetta $ a_{n+1}=3a_n-a_{n-2} $ per come era fatto il nostro polinomio. Perciò è una successione di interi!

Ma allora $ \lfloor c^{1788} \rfloor=\lfloor a_{1788}-b^{1788}-a^{1788} \rfloor = a_{1788}-1 $ perchè il modulo delle altre due robine è MOLTO piccolo... (qui ci vorrebbero delle disugaglianza per stimare che $ b^{1788}+a^{1788}<1 $, ma spero vi fidiate...)

Allora ci serve dimostrare solo che $ 17|a_{1788}-1 $. Facendo a manina i primi valori, scopriamo che $ 17|a_4-1 \mbox{ e } 17|a_{12}-1 $ e la successione è periodica (modulo 17) di periodo 16. Perciò $ a_{1788}=a_{12+16k} \equiv a_{12} \equiv 1 \pmod {17} $, c.v.d. (infatti $ 1988=4+16k $, e dunque 17 divide ogni termine preso singolarmente).

Ciau!

darkcrystal ha scritto:$ a_0=3, a_1=a+b+c=-(-3)=3, a_2= $$ a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=3^2-0=9 $, ed inoltre la successione rispetta $ a_{n+1}=3a_n-a_{n-2} $ per come era fatto il nostro polinomio. Perciò è una successione di interi!

Come fai a dire che la successione rispetta $ a_{n+1}=3a_n-a_{n-2} $?

Beh, onestamente lo conoscevo come fatto noto (che il polinomio associato ad una ricorsione lineare è quello lì...) però si dimostra facilmente. Sia $ \lambda_i $ una radice del polinomio di cui ci stiamo occupando: allora sappiamo che $ \lambda_i^{n+1}=3\lambda_i^{n}-\lambda_i^{n-2} $, perchè non è altro che il polinomio moltiplicato per $ \lambda_i^{n-2} $. Ma allora $ \displaystyle a_{n+1} = \sum \lambda_i^n = \sum (3\lambda_i^{n}-\lambda_i^{n-2}) = 3a_{n}-a_{n-2} $.

Ciau