OliForum Matematico

Ciao a tutti.
Ecco qui un problema dell'Halliday (2° ed. Zanichelli) di cui il risultato da me trovato non coincide con quello del libro. Vi sarei grato di una mano in quanto vorrei capire se ho sbagliato io o c'è stato un errore di stampa.

Pag. 247 n. 83P*.
Un'automobile è dotata di un volano per riserva di energia, che durante la marcia è accoppiato all'albero di trasmissione in modo tale da girare a 240 giri/min quando il veicolo va a 80 Km/h. La massa totale dell'auto è 800 Kg; il volano è un disco omogeneo di 1.1 m di diametro del peso di 200 N. Con motore spento e partenza da fermo, si lascia che il veicolo discenda per 1500 m lungo un pendio inclinato di 5°. Trascurando l'attrito ed il momento di inerzia delle ruote, trovate quali sono, al termine della discesa, (a) la velocità dell'auto, (b) l'accelerazione angolare del volano e (c) la potenza con la quale si accumula energia cinetica nel volano trascinato dall'albero di trasmissione.

Grazie a tutti e scusate il disturbo.
Ciao,
Startrek

Mmmh in effetti anche a me esce una cosa un po' strana... dunque, supponendo di aver capito bene il testo mi risulta che $ \omega = \frac{18}{100m} v=kv $. Per la conservazione dell'energia ho allora
$ \displaystyle Mg \Delta h=\frac{1}{2} I \omega^2+1/2Mv^2= $$ \displaystyle v^2(\frac12 Ik^2+\frac12M)=(\frac{v_y}{sin(5°)})^2(\frac12 Ik^2+\frac12M) $. Il termine $ \frac12 Ik^2 $ è troppo piccolo e praticamente non influisce sulla velocità finale dell'auto, che mi risulta 50.6168 m/s contro i 50.6199m/s dell'auto senza volano... (e questa è la cosa che mi sembra strana).
Ora, passando alle altre due... derivando l'equazione di sopra membro a membro rispetto al tempo ottengo $ \displaystyle Mgv_y=(\frac{2v_y dv_y/dt}{sin^2(5°)})(\frac12 Ik^2+\frac12M) $, ossia che l'accelerazione verticale è in effetti una costante.
Notando poi che $ \displaystyle \alpha = \frac{d \omega}{dt}=k\frac{dv}{dt}=\frac{k}{sin 5°}\frac{dv_y}{dt} $ dovremmo cavarcela per la seconda, e infine, similmente, la potenza trasferita al volano è $ \displaystyle \frac{d(\frac12 I \omega^2)}{dt}=I \omega \alpha $ e con ciò dovremmo essere a posto anche per la terza.
I risultati numerici risultano essere $ \alpha = 0.1537 s^{-2} $ e $ P=4.32 W $, ma se già con i ragionamenti devi andarci cauto, i risultati prendili MOLTO con le molle...

Visto che il problema mi interessa, comunque, potresti dirmi in ogni caso quali sono i risultati presentati dal libro?
Ciao!

Prima di tutto grazie dell'interessamento, anche perché io sto studiando fisica (per entrare alla Normale) da solo a casa, quindi un aiuto del forum è per me preziosissimo.

darkcrystal ha scritto:Mmmh in effetti anche a me esce una cosa un po' strana... dunque, supponendo di aver capito bene il testo mi risulta che $ \omega = \frac{18}{100m} v=kv $.

Non capisco come ti ricavi questa k: dove prendi 18 e 100 m??

darkcrystal ha scritto:Per la conservazione dell'energia ho allora
$ \displaystyle Mg \Delta h=\frac{1}{2} I \omega^2+1/2Mv^2= $$ \displaystyle v^2(\frac12 Ik^2+\frac12M)=(\frac{v_y}{sin(5°)})^2(\frac12 Ik^2+\frac12M) $. Il termine $ \frac12 Ik^2 $ è troppo piccolo e praticamente non influisce sulla velocità finale dell'auto, che mi risulta 50.6168 m/s contro i 50.6199m/s dell'auto senza volano... (e questa è la cosa che mi sembra strana).

Dunque, a parte il fatto che non capisco perché esprimere la velocità finale in funzione della sua componente verticale, la Vfinale senza volano mi riesce come te, mentre la Vfinale con volano mi riesce 51,136 m/s. Ma i tuoi risultati sono di v o solo della componente verticale?

darkcrystal ha scritto:Ora, passando alle altre due... derivando l'equazione di sopra membro a membro rispetto al tempo ottengo $ \displaystyle Mgv_y=(\frac{2v_y dv_y/dt}{sin^2(5°)})(\frac12 Ik^2+\frac12M) $, ossia che l'accelerazione verticale è in effetti una costante.

Non mi è molto chiaro come hai calcolato questa derivata (seconda ?). Inoltre, consideri vy come la Vfinale e quindi costante (altrimenti nel tempo cambia)? Per questo dici che la a vert. è costante?

darkcrystal ha scritto:Notando poi che $ \displaystyle \alpha = \frac{d \omega}{dt}=k\frac{dv}{dt}=\frac{k}{sin 5°}\frac{dv_y}{dt} $ dovremmo cavarcela per la seconda, e infine, similmente, la potenza trasferita al volano è $ \displaystyle \frac{d(\frac12 I \omega^2)}{dt}=I \omega \alpha $ e con ciò dovremmo essere a posto anche per la terza.
I risultati numerici risultano essere $ \alpha = 0.1537 s^{-2} $ e $ P=4.32 W $, ma se già con i ragionamenti devi andarci cauto, i risultati prendili MOLTO con le molle...

Allora, sulla a del volando dovresti ragione, sempre che i ragionamenti precedenti siano corretti, comunque a me riesce 0,9857, semplicemente mettendo a sistema le leggi del moto rotazionale e rettilineo con accelerazione costante.
Ecco i risultati del libro (da prendere con le molle in quanto dopo le soluzioni di questo problema ci stanno anche quelle dell'84, che non esiste, mentre mancano quelle di uno precedente): (a) 42.1 Km/h (b) 3.09 rad/s^2 (c) 7.57 kW.
Ciao e grazie ancora

@darkcrystal: nel calcolare la costante k hai omesso un fattore 2pi, per cui si ha
omega = 1.13 v, il che non cambia di molto i risultati.
Credo, tuttavia, che il problema sia più complesso...bisognerebbe chiarire se il volano accumula semplicemente energia, o genera anche un'azione frenante sul corpo..

ummagumma ha scritto:bisognerebbe chiarire se il volano accumula semplicemente energia, o genera anche un'azione frenante sul corpo..

Ma nel principio di conservazione dell'energia non è già compreso il fatto che la presenza del volano che ruota rallenta l'auto?
Anche perché, o questa azione frenante è un attrito, che il testo ci dice di trascurare, o bisogna supporre che generi qualche forza rallentratrice, ma in questo caso non sappiamo come è collegato all'albero di trasmissione e quindi non possiamo dire come lo rallenta e di quanto.
Qualche idea???

P.S. Non prendete troppo sul serio i risultati del libro, vi ho detto che si sono impicciati...

Dunque, un attimo perchè ho una notevole confusione in testa!
Punto primo, assunzioni che ho fatto:
1) non essendoci dissipazione, l'energia della macchina non fa altro che trasformarsi (una eventuale "forza frenante" può solo modificare il tempo di percorrenza, non la velocità finale, in quest'ottica)
2) la velocità della macchina e la velocità di rotazione del volano sono direttamente proporzionali: da questo, ho chiamato $ \displaystyle k=\frac{\omega}{v}=\frac{240giri/min (60min/h)}{80Km/h}=180giri/Km=18/100 giri/m $, ponendo poi $ \omega=kv $. Perciò mi sfugge, devo ammettere, il fattore 2pigreco...

Punto secondo, le domande di startrek:
1) per la costante k ho già risposto
2) esprimere la velocità in funzione della sua componente verticale mi serve a simmetrizzare l'espressione, perchè a sinistra ho lo "spazio verticale" e ora a destra la "derivata dello spazio verticale", ossia esattamente la velocità verticale;
3) questa invece è una obiezione mia: poichè il volano non può accelerare la vettura, anche il tuo risultato di 51,136 m/s > 50.6199m/s mi sembra strano;
4) sorry, sono matematico nell'animo . La derivata è una derivata temporale prima, tenendo conto del fatto che a destra è quasi tutto costante, tranne la v_y^2, che ha come derivata quella robba lì ($ 2v_y \frac{dv_y}{dt} $). Da qui posso poi semplificare la v_y, e ottenere la sua derivata (ossia la componente verticale dell'accelerazione), che è espressa solo come prodotto di costanti, e dunque è una costante;
5) Infine, per calcolare la potenza assorbita (che in effetti varia nel tempo) mi sono rifatto al testo del problema che dice " [...] quali sono, al termine della discesa [...]"

Spero di aver chiarito almeno qualche dubbio... anche mio
Vi sarei però grato se startrek postasse la sua soluzione e ummagumma mi chiarisse il dubbio sul fattore 2pi

Grazie a tutti e ciao!

Semplicemente, credo sia opportuno esprimere la velocità angolare in rad/s, questa è solo una precisazione sulle unità di misura.
Certo, nella conservazione è contenuta la dissipazione di energia operata dal volano.
Paventavo( ) la possibilità che il volano si opponesse al moto del corpo, generando un momento torcente variabile in funzione della velocità...ovvero che nella discesa si generasse una forza ulteriore in opposizione al moto. In questi caso il lavoro di tale forza dovrebbe essere in qualche modo valutato. Non credo ci siano dati sufficienti per porci in questa situazione.
Di qui concludo che i risultati sono sbagliati e il problema abbastanza banale. Strano però l'energia rotazionale sia quasi trascurabile.

Allora, riguardo la costante k:

$ \displaystyle k = \frac{ \omega }{ v} = \frac{240 \frac {giri}{min} } { 80 \frac{Km}{h} } = \frac{240 \frac {giri}{min} \cdot \frac{2 \pi}{giri} \cdot \frac{1 min}{60 s}} { 80 \frac{Km}{h} \cdot \frac {1000m}{1 Km} \cdot \frac {1 h}{3600s}} = \frac {\frac{480 \pi}{60 s}} {80 \cdot \frac{1}{3,6} \frac {m}{s}} = \frac {8 \pi s^{-1}} { \frac{80}{3,6} \frac {m}{s}} = $

$ \displaystyle = \frac{3,6 \pi}{10} \approx 1.13 $
in quanto $ \displaystyle 1 giro = 2 \pi $

Riguardo alla simmetrizzazione dell'equazione, continua a non essermi molto chiara, ma tanto, alla fine, $ \displaystyle v_y = \frac{v}{\sin {5°}} $ e, quindi, $ \displaystyle v = v_y \cdot \sin {5°} $: cioè devi dividere o poi moltiplicare quindi a cosa serve? Tanto l'equazione è legittima in quanto non facciamo altro che applicare il principio di conservazione dell'energia, quindi J = J.

Inoltre, non capisco come tu faccia a derivare rispetto al tempo un'equazione che non è una legge oraria, non è funzione del tempo, ma esprime solo la v dopo 1500 m. Al massimo , potresti trovare un modo per esprimere i 1500 m in funzione del tempo e, quindi, porre v' = a = ....
La mia soluzione è questa: $ \displaystyle t = 2 \cdot 1500 m / v $ (legge del moto rettilineo uniformemente accelerato) quindi, $ \displaystyle \alpha = v \cdot k / t \approx 0,9857 $
Per quanto riguardo la velocità l'ho calcolata come te, a parte quella v_y di cui non vedo la necessità.
La potenza ancora non l'ho calcolata, non essendo sicuro dei dati precedenti.
Ciao,

Startrek