sappiamo che
a, b, c sono numeri dispari positivi
a < b < c
c-b = b-a
Determinare tutti i numeri positivi di 4 cifre che possono essere scritti come la somma dei quadrati di a, b e c
la somma dei quadrati di a, b, c
la somma dei quadrati di a, b, c
Appassionatamente BTA 197!
sinceramente nn ho trovato una soluzione ma solo un modo per costruirle tutte...
allora, detti A, B, C tali numeri wlog, con b>=k>0 sostituiamo B=2b+1, A=B-2k, C=B+2k. svolgendo A^2 +B^2 +C^2 otteniamo 3(2b+1)^2 +2(2k)^2 che è sempre congruo 3 modulo 8, della forma 8z +3. essendo tale numero di 4 cifre allora 124<z<1250. imponendo l'uguaglianza tra le due espressioni precedenti otteniamo z=3b(b+1)/2 + k^2. data la limitazione vale al massimo b=k per cui b(max)=28 e al minimo k=1 per cui b(min)=7.
NB da tale uguaglianza z NON è congruo a 2 modulo 3.
ricapitolando possiamo costruire una tabella (ad esempo con excel) con cui costruire tutti i possibili valori di z. b assume tutti i valori tra 7 e 28 e k<(b+1)sempre considerando che z<1250.
ad esempio la terna piu piccola di valori si ottiene per b=k=7 cioè (A, B, C)=(1, 15, 29) e la terna piu grande si ottiene per b=28 e k=5 cioè (A, B, C)= (47, 57, 67).
a questo punto sarei curioso di sapere se esiste una soluzione piu olimpica...
allora, detti A, B, C tali numeri wlog, con b>=k>0 sostituiamo B=2b+1, A=B-2k, C=B+2k. svolgendo A^2 +B^2 +C^2 otteniamo 3(2b+1)^2 +2(2k)^2 che è sempre congruo 3 modulo 8, della forma 8z +3. essendo tale numero di 4 cifre allora 124<z<1250. imponendo l'uguaglianza tra le due espressioni precedenti otteniamo z=3b(b+1)/2 + k^2. data la limitazione vale al massimo b=k per cui b(max)=28 e al minimo k=1 per cui b(min)=7.
NB da tale uguaglianza z NON è congruo a 2 modulo 3.
ricapitolando possiamo costruire una tabella (ad esempo con excel) con cui costruire tutti i possibili valori di z. b assume tutti i valori tra 7 e 28 e k<(b+1)sempre considerando che z<1250.
ad esempio la terna piu piccola di valori si ottiene per b=k=7 cioè (A, B, C)=(1, 15, 29) e la terna piu grande si ottiene per b=28 e k=5 cioè (A, B, C)= (47, 57, 67).
a questo punto sarei curioso di sapere se esiste una soluzione piu olimpica...