OliForum Matematico

qualcuno mi sa dire quale è (se esiste) e perchè esiste il
$ \displaystyle\lim_{x\rightarrow\pi} sin(x) $ in topologia di zariski?

ciao

io avrei trovato che non esiste unico il limite, perche in $ T_Z $ tutti gli aperti sono infiniti e quindi hanno intersezioni.
qualcuno me lo può confermare?

Intanto dovresti dire dove metti la zariski. In partenza? In arrivo? Tutti e due?

solo in arrivo, altrimenti non ho idea di come potrebbe x tendere a $ \pi $

piazza88 ha scritto:solo in arrivo,

Allora la funzione rimane continua (diminuendo gli aperti in arrivo, essere continui diventa più facile). Pertanto il limite è il valore nel punto.

piazza88 ha scritto:altrimenti non ho idea di come potrebbe x tendere a $ \pi $

Tendere è un concetto topologico, quindi non vedo problema a tendere.

e se applicassi la topologia di zariski da entrambe le parti?

Ho detto una grossa stupidaggine (strano che nessuno me l'abbia fatto notare, si vede che questo topic non interessa nessuno...).

Xamog ha scritto:la funzione rimane continua (diminuendo gli aperti in arrivo, essere continui diventa più facile).

Questo è corretto.

Xamog ha scritto: Pertanto il limite è il valore nel punto.

Questo non è vero. La cosa corretta è che il limite esiste ed valore nel punto è tra i possibili limiti. In generale però possono esserci anche altri limiti (che non hanno ragione per essere unici). Infatti in tal caso tutti i numeri reali (anche quelli maggiori di 1) sono possibili limiti (se non sto prendendo una nuova cantonata).

Mettendo la zariski in partenza il limite non dovrebbe più esistere, sia che in arrivo ci sia l'euclidea, sia che ci sia la zariski.

A questo punto rilancio: e se la funzione fosse $ x^2 $?

Beh, sistemiamo un po' il tutto:
sia $ f:(X,\sigma)\to (Y,\tau) $ una applicazione tra spazi topologici; sia $ p\in X $. Diciamo che
$ \displaystyle{\lim_{x\to p}f(x)=y\in Y} $
se per ogni $ V $ intorno di y in Y esiste $ U $ intorno di p in X tale che $ f(U\setminus\{p\})\subseteq V $.

Siano ora $ X=Y=\mathbb{R} $ e sia $ \tau $ la topologia di Zariski (che, non essendo di Hausdorff sui reali, non assicura l'unicità del limite). $ \sigma $ è invece l'usuale topologia euclidea. Sia $ f(x)=\sin(x) $.

Sia $ r\in\mathbb{R} $ un numero reale e sia V un suo intorno; ovvero
$ V=\mathbb{R}\setminus\{y_1,\ldots,y_n\} $
con $ y_i\neq r $ per i=1,...,n.
Sia A l'insieme (discreto) delle controimmagini degli $ y_i $ tramite f.
Poichè A è discreto, esiste $ \rho=d(\pi,A\setminus\{\pi\})=\min\{|\pi-x| \vert x\in A,\ x\neq\pi\} $.
Ovviamente $ f((\pi-\rho,\pi+\rho)\setminus\{\pi\}) $ non contiene nessuno degli $ y_i $ e dunque sta in V.
Pertanto, ogni r in R è limite di f(x) per x che tende a pi.

EvaristeG ha scritto:Beh, sistemiamo un po' il tutto:

Se non ci fossi tu che fai "la fatica del LaTeX"...

EvaristeG ha scritto:Pertanto, ogni r in R è limite di f(x) per x che tende a pi.

che è come dire

piazza88 ha scritto:che non esiste unico il limite

ciao e grazie

Beh non è proprio la stessa cosa: tu dici che, dato che la topologia non è di Hausdorff, non è possibile dimostrare l'unicità del limite (e quindi che puoi anche avere due limiti); io dimostro che ogni reale è limite...