OliForum Matematico

Salve..sono alle prime armi col calcolo differenziale...
Dovrei dire se l'insieme A=n/(n+1), n=0,1,2,3.... è limitato, ed eventualmente trovare l'estremo inferiore e superiore...
Io ho pensato che l'estremo superiore fosse 1 e l'inf. fosse 0....Sbaglio?

Mah, cosi' a occhio no... Provaci per induzione, non dovrebbe essere difficile... Dimostri la crescenza della successione degli $ A_n $ (li battezzo cosi'...) e esibendo lo zero per n=0 provi l'estremo inferiore... Poi dimostri che gli elementi della successione sono sempre <1 e hai finito... no?

Ciao!

No, facendo proprio come hai detto tu non hai finito, devi ancora dimostrare che gli $ ~ A_n $ vanno arbitrariamente vicino ad 1.
(per ogni e>0 esiste un n tale che $ ~ |A_n-1| < e $...)

Ma visto che $ ~ |A_n - 1| = |\frac{n}{n+1} - 1| = \frac 1 {n+1} $, dimostrare che quest'ultima cosa tende a 0 non è difficile...

Non basta dire che è sempre crescente e che il limite fa 1?

Certo che sì: se il limite è 1, sicuramente andrà arbitrariamente vicino a 1, e se è crescente, non può essere maggiore o uguale a 1, altrimenti tutti i termini da un certo punto in poi sarebbero maggiori di un a maggiore di 1, e quindi il limite non potrebbe essere 1.

Però visto che Dario dice di essere alle prime armi, forse per lui è meglio applicare direttamente la definizione.

Giusto, edriv, altrimenti mi limito a provare che la successione è limitata superiormente da 1, senza dimostrare che esso è il minimo dei maggioranti... grazie...

Altro modo...

$ \displaystyle \frac{n}{n+1}=1- \frac{1}{n+1} $.
La successione $ \displaystyle \left\{\frac{n}{n+1}\right\} $ è dunque crescente. Se è crescente $ \displaystyle 1= \lim_{n \rightarrow +\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\mbox{ sup } \left\{a_n\in \mathbb{N} : a_n=\frac{n}{n+1}\right\} $ (è un teorema utile).
Se la successione è crescente, il primo termine è il più piccolo. Segue $ \displaystyle \mbox{ inf } \left\{a_n\in \mathbb{N} : a_n=\frac{n}{n+1}\right\}=0 $