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Scrivi il seguente polinomio come prodotto di polinomi irriducibili in Z[X]:
f(X) = X^2005-2005X+2004.

Uhm se non ricordo male questo problema non era stato risolto da nessuno e non era stata proposta una soluzione... Mi pare che se al posto di 2005 c'era un numero primo si faceva facilmente ma in questo caso era impossibile (o quantomeno improbabile).

Comunque complimenti a chi dovesse (eventualmente) risolverlo!!

Per un numero primo la soluzione è questa:
intanto, levando la doppia radice 1, resta da dimostrare che il polinomio
$ ~ P = x^{2003} + 2x^{2002} + \ldots + 2003x + 2004 $ è irriducibile.
Indichiamo con $ ~ P^* $ il polinomio coi coefficienti ribaltati. Supponiamo P riducibile, con $ ~ P = QR $. Allora divertitevi a dimostrare che $ ~ P^* = Q^* R^* $. Indi sarà sufficiente dimostrare l'irriducibilità di:
$ ~ 2004x^{2003} + \ldots + 2x + 1 $
e questo salta all'occhio che è la derivata di $ ~ \frac{x^{2005}-1}{x-1} = x^{2004} + x^{2003} + \ldots + 1 $.

Usiamo questo lemma: le radici (complesse) della derivata di un polinomio stanno nell'inviluppo convesso delle sue radici.
Dimostrazione: (la mia dimostrazione) hmm... passando per il significato analitico di derivata, e facendo qualche disuguaglianza brutta, si vede che fuori dall'inviluppo convesso il modulo cresce in una certa direzione.

Visto che $ ~ \frac{x^{2005}-1}{x-1} $ ha solo radici di modulo 1 (e non radici multiple), allora P* ha tutte le radici di modulo minore di 1.
Supponiamo che P = QR e che 2004 sia un numero primo. Allora uno tra Q,R avrà coefficiente direttivo 1 (o -1) e coefficiente di grado zero uguale ad 1. Quindi il prodotto delle sue radici ha modulo 1. Assurdo, visto che hanno tutte modulo minore di 1.

Il caso 2, cioè quello in cui 2004 non è primo... uhm...