Poland MO 1998

[alexlor8083]

$ \text{Find all pairs of positive integers}\hspace{2mm}\\$x,y$\\ \text{satisfying the equation}\\ $y^x = x^{50}.$ $

[EUCLA]

Allora...
$ \displaystyle y=x^{\frac{50}{x}} $
$ x|50 $
$ \rightarrow x=1, y=1 $
$ \\ \rightarrow x=2,y=2^{25} $
$ \\ \rightarrow x=5, y=5^{10} $
$ \\ \rightarrow x=10, y=10^5 $
$ \\ \rightarrow x=25, y=25^2 $
$ \\ \rightarrow x=50, y=50 $

[alexlor8083]

Mancano alcune coppie.....

[EUCLA]

tipo?

[alexlor8083]

$ $x=4 y=2^{25}$\\ $x=100 \hspace{2mm} y=10$ $

[Jacobi]

$ $x=100 \hspace{2mm} y=10$ $

Infatti, come ci fa notare alexor8083, se $ \displaystyle x^{\frac{50}{x}} $e' intero, nn e' necessariamente vero che x divide 50

[EUCLA]

Si, non è che avviene solo quello ma vale anche 50|x e poi si vede da li che più di tanto non posson crescere..per pigrizia poi dopo il post di alexor8083, non avevo completato