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Ecco qui un altro problema tratto dall'Halliday (pag 271 n. 43P*, 2° ed. Zanichelli).

Due cilindri, aventi rispettivamente raggio $ \displaystyle R_1 $ ed $ \displaystyle R_2 $ e momenti di inerzia $ \displaystyle I_1 $ ed $ \displaystyle I_2 $, sono montati su alberi perpendicolari al piano della figura 12-38. Inizialmente il cilindro maggiore ruota a velocità angolare $ \displaystyle \omega_0 $. Il cilindro minore è spostato verso destra fino a toccare il maggiore, ed è trascinato in rotazione per effetto della forza d'attrito fra le superfici a contatto. A un certo punto lo strisciamento viene a cessare, ed i due cilindri ruotano a velocità costanti in senso opposto. Trovate la velocità angolare finale $ \displaystyle \omega_2 $ del cilindro minore in termini di $ \displaystyle I_0, I_1, R_1, R_2 $ e $ \displaystyle \omega_0 $. (Suggerimento: non si ha la conservazione di momento angolare né di energia cinetica. Applicate l'equazione dell'impulso angolare del problema 42.)

Il problema è che, qualsiasi cosa faccio, alla fine mi riconduco sempre alla conservazione del momento angolare, che il problema dice di non applicare.
Per completezza, riporto anche il problema 42 (che ho risolto) giusto per una migliore comprensione del 43, dato che è sopra citato.

Un impulso di una forza F(t) agisce per un tempo brevissimo $ \displaystyle \Delta t $ su un corpo avente momento d'inerzia I. Dimostrate che

$ \displaystyle \int \tau dt = \overline{F} R \Delta t = I ( \omega_f - \omega_i ) $

ove R è il braccio, $ \displaystyle \overline{F} $ è il valor medio della forza durante il tempo in cui agisce sul corpo, $ \omega_i $ e $ \omega_f $ sono le velocità angolari del corpo immediatamente prima e dopo l'azione della forza. La quantità $ \displaystyle \int \tau dt = \overline{F} R \Delta t $ è chiamata impulso angolare.

Grazie a chiunque possa darmi una mano.
Ciao,

Startrek

Questo è un esercizio interessante poiché può trarre in inganno fisici navigati sulla conservazione del momento angolare.

In questo caso, ovviamente, il momento angolare non si conserva poiché i due cilindri sono vincolati a rimanere l'uno accanto all'altro durante il contatto, mentre se fossero liberi (e in questo caso si conserverebbe $ L $) al primo contatto schizzerebbero via l'uno dall'altro, "trasformando" parte del momento angolare in momento "lineare" (perdona il poco rigore, ma facciamo per capirci).

Inoltre, la somma dei momenti angolari finali (dopo lo strisciamento) è necessariamente minore del momento angolare iniziale. Infatti, nella fase di rotolamento $ L_1 $ diminuisce e $ L_2 $ aumenta, ma in senso contrario a $ L_1 $ per cui il momento angolare totale, che è la somma vettoriale, ha un modulo minore del modulo del valore iniziale.

Ora, dopo aver visto perché $ L $ non si conserva, veniamo alla soluzione.

Le leggi del moto dei due cilindri sono $ I_1\frac{d\omega_1}{dt}=F_aR_1 $ e $ I_2\frac{d\omega_2}{dt}=F_aR_2 $. La forza di attrito $ F_a $ è assunta costante per tutto il tempo $ \Delta t $ dello strisciamento ed è uguale per entrambi i cilindri. Quindi le soluzioni delle equazioni del moto per i moduli delle velocità angolari sono
$ \omega_1(\Delta t)=\omega_0-\frac{R_1F_a\Delta t}{I_1} $ e $ \omega_2(\Delta t)=\frac{R_2F_a\Delta t}{I_2} $.

Ora, $ F_a\Delta t=I $, ecco che abbiamo il nostro amato impulso $ I $. Quindi
le equazioni di prima possono essere riscritte come $ \omega_1(\Delta t)=\omega_0-\frac{R_1I}{I_1} $ e $ \omega_2(\Delta t)=\frac{R_2I}{I_2} $.

Alla fine dello strisciamento le due velocità angolari devono essere ovviamente uguali e pari a $ \omega_f $, quindi $ \omega_0-\frac{R_1I}{I_1}=\frac{R_2I}{I_2} $.

Quindi, $ I=\frac{\omega_0}{\Bigl(\frac{R_1}{I_1}+\frac{R_2}{I_2}\Bigr)} $ e finalmente, dalla seconda delle leggi del moto si ha che $ \omega_f=\frac{R_2}{I_2}\frac{\omega_0}{\Bigl(\frac{R_1}{I_1}+\frac{R_2}{I_2}\Bigr)} $

Salvo grossolani errori questa dovrebbe essere la soluzione.

Ciao.

Prima di tutto ti ringrazio.
Ora, ci sono due passaggi nella tua soluzione che non mi sono molto chiari.

geda ha scritto:Ora, $ F_a\Delta t=I $, ecco che abbiamo il nostro amato impulso $ I $.

A parte il fatto che non mi sembra il massimo chiamare l'impulso angolare con la stessa lettera usata per il momento d'inerzia, il problema è che la formula giusta è $ F_a R \Delta t=I $, ossia ti sei dimenticato il braccio della forza.

geda ha scritto:finalmente, dalla seconda delle leggi del moto si ha che $ \omega_f=\frac{R_2}{I_2}\frac{\omega_0}{\Bigl(\frac{R_1}{I_1}+\frac{R_2}{I_2}\Bigr)} $

Potresti spiegarmi meglio questo decisivo passaggio, per favore?
Grazie ancora.

Startrek

A parte il fatto che non mi sembra il massimo chiamare l'impulso angolare con la stessa lettera usata per il momento d'inerzia, il problema è che la formula giusta è $ F_a R \Delta t=I $, ossia ti sei dimenticato il braccio della forza.

Hai ragione. Non e' opportuno usare lo stesso simbolo $ I $. Il punto e' che nei testi di fisica si usa questo simbolo sia per il momento di inerzia sia per indicare l'Impulso di una Forza, definito come $ I=\int Fdt $, ossia $ I= F\Delta t $ se la forza e' assunta costante, come nel nostro caso. Il concetto di impulso angolare e' meno usato nei testi di fisica.

Nel caso del nostro esercizio conviene introdurre l'impulso nella sua accezione classica di $ I=F\Delta t $, poiche' esso e' lo stesso per entrambi i cilindri, mentre l'impulso angolare cambia per ciascun cilindro, cioe' $ I_{angolare\,1}=F_a\Delta t R_1 $ e $ I_{angolare\,2}=F_a\Delta t R_2 $.

Comunque, se riprendi in mano le leggi del moto dei due cilindri, cioe'
$ \omega_1(\Delta t)=\omega_0 -\frac{R_1F_a\Delta t}{I_1} $ e $ \omega_2(\Delta t)=\frac{R_2F_a\Delta t}{I_2} $, il tuo obiettivo e' risolverle per ottenere $ \omega_f $. Come si fa? Ebbene, tu sai che nel momento in cui inizia il rotolamento le velocita' angolari dei due cilindri sono uguali in modulo. Puoi quindi sfruttare questa condizione per ricavare dalle due formule precedenti la quantita' incognita $ F_a\Delta t $, con la seguente eguaglianza

$ \omega_0 -\frac{R_1F_a\Delta t}{I_1}=\frac{R_2F_a\Delta t}{I_2} $

che risolta ti da

$ F_a\Delta t= \frac{\omega_0}{\Bigl(\frac{R_1}{I_1}+\frac{R_2}{I_2}\Bigr)} $. Giusto?

Ora pero' a te serve sapere quanto vale l'$ \omega_f $ che corrisponde a questo valore di $ F_a\Delta t $, che e' anche la velocita' angolare finale dei due cilindri che stai cercando. Non devi fare altro che sostituire l'$ F_a\Delta t $ trovato nell'equazione

$ \omega_2(\Delta t)=\frac{R_2F_a\Delta t}{I_2} $, ecco allora che ottieni quello che cercavi

$ \omega_f=\frac{R_2}{I_2}\frac{\omega_0}{\Bigl(\frac{R_1}{I_1}+\frac{R_2}{I_2}\Bigr)} $

Spero di essere stato un po' piu' chiaro. Se no, non ti fare problemi a chiedere.

Ciao

geda

geda ha scritto:$ \displaystyle \omega_2(\Delta t) $

Piccolo chiarimento. Intendi $ \displaystyle \omega_2 $ all'istante $ \displaystyle \Delta t $, non il prodotto $ \displaystyle \omega_2 \cdot \Delta t $, vero?

geda ha scritto:$ \omega_f=\frac{R_2}{I_2}\frac{\omega_0}{\Bigl(\frac{R_1}{I_1}+\frac{R_2}{I_2}\Bigr)} $

Purtroppo, la soluzione del libro è $ \displaystyle \omega_f= \frac{\omega_0 R_1 R_2 I_1 } {I_1 R_2^2 + I_2 R_1^2} $

Che ne pensi?
Piuttosto, quel tuo giochetto con l'impulso classico, alla fine, equivale a sostituire un po' di variabili ed a fare un po' di uguaglianze, infatti il risultato da te ottenuto, dopo che tu mi hai fatto venire in mente di usare la seconda legge di Newton, l'ho ottenuto anche io senza usare l'impulso classico. Comunque, in ogni caso, per il libro la soluzione è sbagliata, anche se non ci giurerei perché so che qualche errore nelle soluzioni nel libro c'è.
A presto.

Startrek

Piccolo chiarimento. Intendi $ \displaystyle \omega_2 $ all'istante $ \displaystyle \Delta t $, non il prodotto $ \displaystyle \omega_2 \cdot \Delta t $, vero?

Si, certo.

Purtroppo, la soluzione del libro è $ \displaystyle \omega_f= \frac{\omega_0 R_1 R_2 I_1 } {I_1 R_2^2 + I_2 R_1^2} $

Che ne pensi?

Oops..... nella soluzione delle 2 equazioni del moto ho fatto un'errore stupido. Nella fase di rotolamento vale la legge che $ \omega_{1f}R_1=\omega_{2f}R_2 $, cioè ovviamente il cilindro più piccolo ruota più velocemente di quello grande, dovendo entrambi "percorrere" la stessa strada.

Quindi l'eguaglianza delle leggi del moto deve essere

$ R_1\Bigl(\omega_0-\frac{R_1F_a\Delta t}{I_1}\Bigr)=R_2\Bigl(\frac{R_2F_a\Delta t}{I_2}\Bigl) $ e non semplicemente $ \omega_0-\frac{R_1F_a\Delta t}{I_1}=\frac{R_2F_a\Delta t}{I_2} $


Quindi risolvendo per $ F_a\Delta t $, si ottiene

$ F_a\Delta t=\frac{\omega_0 R_1}{\Bigl(\frac{R^2_1}{I_1}+\frac{R^2_2}{I_2}\Bigr)} $

e finalmente

$ \omega_f=\frac{R_2}{I_2}\frac{\omega_0 R_1}{\Bigl(\frac{R^2_1}{I_1}+\frac{R^2_2}{I_2}\Bigr)} $

che con qualche semplice calcolo è la soluzione del libro.

I'm sorry

geda ha scritto:I'm sorry

Ma che sorry e sorry
Ti dovrei fare un monumento!
Ciao e grazie

Startrek