OliForum Matematico

$ \sum_{k=1}^N \frac{\left ( k^2 + 1\right ) e^\frac{1}{k} - k^2}{k - \sqrt{1+k}} $

studiare la convergenza della serie.. grazie a chiunque si voglia cimentare

$ lim_{k->+\infty}a_k=-\infty=> $La serie diverge.

$ $\frac{\left(k^2 + 1\right) e^\frac{1}{k} - k^2}{k - \sqrt{1+k}} =$ $

$ $= \frac{ k^2 \left( e^\frac{1}{k}- 1\right) +e^\frac{1}{k} } {k - \sqrt{1+k} }=$ $

$ $=\frac{k\left( \frac{ e^\frac{1}{k}- 1}{\frac{1}{k}}\right) +e^\frac{1}{k} }{k - \sqrt{1+k}}$ $

per $ ~k\rightarrow\infty $
$ $\approx \frac{k +e^\frac{1}{k} }{k - \sqrt{k}}\approx 1$ $

uhm tutti sti limiti....

Dalla teoria so che $ (1+\frac 1k )^ k $ converge dal basso a $ e $. Quindi $ (1+ \frac 1k) < e^{\frac 1k} $.

Ma allora il numeratore del termine $ k $-esimo della nostra serie (se k>1) è strettamente maggiore di $ k^2 ( 1+ \frac 1k ) - k^2 = k $ e quindi il termine $ k $ - esimo della serie è strettamente maggiore di $ 1 $.

Quindi la serie diverge.