OliForum Matematico

Ho deciso, visto lo scarso interesse della gente a questo argomento, molto carino, che in birreria ci poteva stare, oltre al fatto che è buono come mio primo intervento qui .

Allora, in un altro toppic, mostravo, con poco successo, forse perchè sono tutti troppo presi per vedere la bellezza nella semplicità, come le potenze quadrate di numeri con la finale nella cifra 5 (del tipo $ x5^2 $) si possano molto molto velocemente risolvere: basta riscrivere il numero come $ 100(x)(x+1) + 25 $... in parole povere basta "mettere" un $ 25 $ infondo al nuovo numero, e il restante di esso è pari alla moltiplicazione tra il il numero composto dalle cifre a partire dalle decine comprese e il suo successivo... complicato a dirsi? facile a farsi: $ 995^2 $ non è altro che $ 99*100 $ posto davanti a $ 25 $, ovvero $ 990025 $.
Poi ho chiesto di provare a trovare una regola per i numeri composti da tutte cifre 1... qui non hanno risposto alla mia domanda, ma basta osservare un po' per capire:
$ 1^2=1 $
$ 11^2=121 $
$ 111^2=12321 $
$ 1111^2=1234321 $
...e così via, cosa notate? ovviamente c'è una "scala" nei numeri: da 1 al numero di cifre 1 elevate a potenza e poi si torna verso l'1, facile facile (oltre a 10 cifre 1 serve un piccolo accorgimento, ma comunque facile).

Sapreste trovare qualche regola con lo stesso metodo? e giustificarla? provate a stupirmi... ...

P.S.: questo non è il meglio che so fare, sono solo esempiucci...

Allora, in un altro toppic, mostravo, con poco successo, forse perchè sono tutti troppo presi per vedere la bellezza nella semplicità

P.S.: questo non è il meglio che so fare, sono solo esempiucci...

scusa la mia ignoranza... ma te trovi molto affascinante sviluppare $ (10x+5)^2 $??
bof

DesertEagle ha scritto: Poi ho chiesto di provare a trovare una regola per i numeri composti da tutte cifre 1... qui non hanno risposto alla mia domanda, ma basta osservare un po' per capire:
$ 1^2=1 $
$ 11^2=121 $
$ 111^2=12321 $
$ 1111^2=1234321 $
...e così via, cosa notate? ovviamente c'è una "scala" nei numeri: da 1 al numero di cifre 1 elevate a potenza e poi si torna verso l'1, facile facile (oltre a 10 cifre 1 serve un piccolo accorgimento, ma comunque facile).

ma questa non è la stessa cosa che ho scritto io?

Io quando avevo 6 anni mi sono accorto che per moltiplicare per 5 bastava aggiungere uno 0 (a destra, eh, che a sinistra nn contano) e dividere per 2, cosa ho vinto?

Bah, tanto per dire...
quella cosa dei numeri che finiscono per 5 è giusto lo sviluppo del binomio:
$ (10x+5)^2=100x^2+100x+25=100x(x+1)+25 $
quella delle potenze dei numeri con soli 1 è un po' più intricato:
$ \displaystyle{11\ldots1=\sum_{n=0}^m10^n} $
da cui
$ \left(\displaystyle{\sum_{n=0}^m10^n}\right)^2=\displaystyle{\sum_{n=0}^m10^n\left(\sum_{i=0}^m10^i\right)} $
e sommando piuttosto sulle possibili somme i+n si ottiene
$ \displaystyle{\sum_{k=0}^{n}\sum_{i=0}^k10^i10^{k-i}+\sum_{k=n+1}^{2n}\sum_{i=k-n}^n10^i10^{k-1}} $$ =\displaystyle{\sum_{k=0}^n(k+1)(10^k+10^{2n-k})} $

Mattilgale, è solo un esempio, quelli che fanno i libri li trovi affascinanti?
Mod_2, non mi avevi mostrato la regola, anche se l'avevi capita.
EvaristeG, bravo, vedo che hai capito la mia ottica, dall'algebra all'astrazione da essa: non è importante come si arriva ad una regola, ma poi ad essere veloci ad applicarla.
Esempio. In un contesto $ x $ vi viene richiesto di trovare il quadrato di un numero che finisce per 5, lo sapreste fare a mente, ricavando dalla regola algebrica un metodo più veloce (quello mostrato) e vi basterebbe scrivere subito il risultato senza fare calcoli: la mente ce la fa da sola. Ugualmente per numeri con tutte cifre 1 (restando nel quadrato). Sono infiniti i metodi pratici: l'algebra li complica molto spesso.
Le potenze di 11? il mio suggerimento: Triangolo di Tartaglia.
Questo vi chiedo, provate a trovare regole sia pratiche che algebriche (meglio le prime se più immediate: serve la velocità e meno operazioni possibili).

Le potenze sono un ottimo campo per cimentarsi: le regole sembrano spuntare ovunque, ma non sempre in modo così immediato... Provate

Uhm potrebbe essere un passatempo carino...

DesertEagle ha scritto: Le potenze di 11? il mio suggerimento: Triangolo di Tartaglia.

uhm forse newton è un tantino + veloce...specie se lasci indicato

DesertEagle ha scritto:non è importante come si arriva ad una regola, ma poi ad essere veloci ad applicarla.

Ci risiamo. Questa non è matematica seria. La matematica seria non può prescindere dalle idee e dalle dimostrazioni, e non è formata da regole pratiche come quelli che piacciono tanto a te, ma da definizioni e teoremi.
Quello che dici tu è più enigmistica che altro...

Pigkappa ha scritto: Quello che dici tu è più enigmistica che altro...

no dai, se vuole diventare campione internazionale bocconi questa roba è utilissima
secondo me dici cosi solo perchè hai paura che ti porta via il titolo nazionale

salva90 ha scritto:

Pigkappa ha scritto: Quello che dici tu è più enigmistica che altro...

no dai, se vuole diventare campione internazionale bocconi questa roba è utilissima
secondo me dici cosi solo perchè hai paura che ti porta via il titolo nazionale

Secondo me sei invidioso perchè ti ha fatto vincere la fase locale per poi massacrarti...

Sherlock ha scritto: Secondo me sei invidioso perchè ti ha fatto vincere la fase locale per poi massacrarti...

si lo ammetto infatti mi sto profondamente preparando per stravincere la fase settimanale: tutti i giovedì compro la settimana enigmistica; inoltre prendo seriamente topic come questo

salva90 ha scritto:

Sherlock ha scritto: Secondo me sei invidioso perchè ti ha fatto vincere la fase locale per poi massacrarti...

si lo ammetto infatti mi sto profondamente preparando per stravincere la fase settimanale: tutti i giovedì compro la settimana enigmistica; inoltre prendo seriamente topic come questo

Della serie "Come fare in modo che quest'anno Gabriel passi sicuro al posto mio"

Sherlock ha scritto:

salva90 ha scritto:

Sherlock ha scritto: Secondo me sei invidioso perchè ti ha fatto vincere la fase locale per poi massacrarti...

si lo ammetto infatti mi sto profondamente preparando per stravincere la fase settimanale: tutti i giovedì compro la settimana enigmistica; inoltre prendo seriamente topic come questo

Della serie "Come fare in modo che quest'anno Gabriel passi sicuro al posto mio"

Grazie salva90...
allora vi rivelo un cosa carina, riprendendo la sequenza quadrata di $ n $ cifre $ 1 $...

$ 1^2=1 $
$ 11^2=121 $
$ 111^2=12321 $
$ 1111^2=1234321 $

Ora osserviamo quella di $ n $ cifre $ 2 $:

$ 2^2=4 $
$ 22^2=484 $
$ 222^2=49284 $
$ 2222^2=4937284 $

Quella di $ n $ cifre $ 3 $:

$ 3^2=9 $
$ 33^2=1089 $
$ 333^2=110889 $
$ 3333^2=11108889 $

e così via... cosa notate?
Semplice semplice... per l'1 si faceva una "scala", ugualmente per gli altri numeri:
una "scala" che cresce e decresce (da $ 1*n^2 $ fino a $ m*n^2 $, con $ m $ numero delle cifre del numero da elevare a potenza quadrata, passando per tutti i numeri interi in "scala" crescente e poi, da $ m $, decrescente fino a $ 1*n^2 $) come una tabellina del nostro $ n^2 $... per capire ogni "posto" non è composto da una cifra, ma da $ n $ moltiplicato per la posizione:

$ 44^2= (1*4^2) (2*4^2) (1*4^2) $ dove le parentesi sono i nostri "posti", ma per sapere realmente il numero bisogna svolgere i calcoli:
$ 44^2= (16)(32)(16) $ e poi riportare le decine, in questo caso, nel "posto" successivo e si ottiene:
$ 44^2= 1936 $

Come spiegazione non è granchè, ma il principio è questo... carino?