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è possibile calcolare, per x->1, l'espansione di $ log|x-1| $?
se sì, quale è?

beh per x>1 puoi levare il modulo tanto l'argomento resta positivo... quindi calcoli semplicemente lo sviluppo di Taylor della funzione log(x-1) in un punto x_0>1. In x=1 la funzione non è definita, per x<1 calcoli lo sviluppo di Taylor di log(1-x).

Se ho capito la domanda, la risposta è no: non puoi calcolare lo sviluppo di taylor di una funzione in un punto in cui la funzione non è definita. Anzi, a rigore ti servirebbe un aperto attorno al punto in cui la funzione è definita.
Se invece vuoi sviluppare con Laurent, è un altro discorso...ma la cosa diventa un po' complicata.

forse mi sono spiegato male; intendevo dire un intorno bucato, perchè altrimenti evidentemente non è definita; e dovrebbe essere possibile farlo senza conoscere derivate e oltre, cioè basandosi su sviluppi notevoli quali log(x+1), (1+x)^n, etc.(dati per buoni), e usando un po' di algebra.

Hmm allora ... chiariamoci:
lo sviluppo di Taylor di una funzione si fa attorno a un punto in cui la funzione deve essere definita e infinitamente derivabile.
Qual è il punto, nel tuo caso?

nel mio caso il punto è 1, che, lo so, non appartiene al dominio della funzione; ergo, l'esercizio, così come è assegnato, non si può svolgere?
oppure c'è lo stesso un modo, magari considerando solo l'intorno bucato di 1 (probabilmente è una cavolata) e facendo qualche sostituzione di variabile, per ottenere un'espansione con polinomi di taylor?

Scusa, ma come fai ad approssimare con polinomi attorno a una singolarità? Cioè, come puoi trovare dei polinomi attorno ad 1 che vadano all'infinito in 1?
Al massimo puoi sviluppare secondo Laurent, utilizzando termini della forma $ \dfrac1{x^n} $.

dunque, se l'esercizio assegnato è "sviluppa in (1) $ log|x-1| $" e non sono presupposte conoscenze oltre le derivate escluse, c'è un errore nel testo dell'esercizio e quindi non si può fare, giusto?