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Come si calcola la probabilità che in un gruppo di n persone ce ne siano 2 nate lo stesso giorno?

Bel problema, l\'ho già incontrato un paio di volte. Naturalmente mi sono ingannatto la prima volta pensando subito a metodi completamente sbagliati. In realtà, se non ricordo male, in un gruppo di 23 persone la probabilità che due o più abbiano il compleanno in comune é superiore al 50%!
<BR>Avevo una pagina cge spiegava qualcosa, vado a cercarla.

Mi pare di aver letto di almeno due modi per rislvere il problema ma uno mi era sembrato quantomeno discutibile. Tutti e due arrivavano a dire, però, che in un gruppo di una ventina di persone conviene farci delle scommesse...

Certo che conviene scommetterci e sapessi io quante scommesse ho vinto...............
<BR>In un gruppo di 24 persone per comprendere il motivo per cui la probabilità che ci siano due persone con la stessa data di nascita è superiore a quella di 2 a 1, è necessario sapere come si calcola la probabilità di eventi di questo genere. E vero che la probabilità che due persone prese a caso non abbiano lo stesso giorno di nascita è di 364 su 365 (per semplicità escludiamo ogni ipotetico 29 febbraio). Tuttavia la probabilità che una terza persona non abbia lo stesso compleanno di una delle prime due è di 363 su 365, poiché sono due i possibili giorni in cui può coincidere la data di nascita. Analogamente la probabilità che una quarta persona non abbia il compleanno corrispondente a quello delle prime tre è di 362 su 365, e così via finché non si siano passati in rassegna i ventiquattro possibili compleanni, per l’ultimo dei quali si dà una probabilità di 342 su 365. Le frazioni di questa serie vanno moltiplicate tra loro e si ottiene una probabilità di 46/100. Questo rapporto rappresenta la probabilità che, in un gruppo di ventiquattro persone, non vi siano coincidenze nel giorno del compleanno; la probabilità che ci sia quindi una coincidenza è di 54 su 100, cioè maggiore del 50%.
<BR>In generale la probabilità di almeno due compleanni coincidenti, per un qualsiasi numero di persone, può essere così calcolata:
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<BR>1-((365*364*363*362*....*(365-n+1))/365n)
<BR>
<BR>dove n è il numero di persone considerate.
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<BR>Questa formula è troppo bella, sai ai compleanni o alle feste in generale certe facce quando vinci queste scommesse che sembrano assurde........ Ti esalti proprio..........

365*n o 365^n? Io direi la seconda perchè direi che hai moltiplicato tutte le probabilità.
<BR>Avevo letto giusto giusto questo esempio e anche con lo stesso numero di persone.
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<BR>p.s.: forse è più elegante 1- (364!/ 365^(n-1)*(365-n)!)
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<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ale86 il 30-01-2003 18:33 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ale86 il 30-01-2003 18:34 ]

la formula ti trova la probabilità che almeno due persone siano nate lo stesso giorno, ma se si volesse calcolare la probabilità che siano esattamente due le persone nate lo stesso giorno (e non di più), come si farebbe?
<BR>secondo me bisognerebbe prima calcolare la probabilità che tutti meno uno compiano gli anni in giorni diversi cioè:
<BR>(365*364*363*362*....*(365-n+2))/365^(n-1)
<BR>e moltiplicare poi il tutto per la probabilità che quall\'uno escluso dal calcolo compia gli anni in uno dei giorni che li compiono gli altri cioè:
<BR>((n-1)/365) da cui si ha
<BR>
<BR>[(365*364*363*362*....*(365-(n-2)))/365^(n-1)]*[(n-1)/365]
<BR>
<BR>a questo punto si è giunti alla probabilità che solo uno in particolare compia gli anni in un giorno in cui li compie un altro, ma siccome si vuole ottenere la probabilità che uno ed uno solo (qualsiasi fra gli n) compia gli anni lo stesso giorno di un altro, bisognerà moltiplicare tutto per n per avere tutte le configurazioni possibili da cui
<BR>
<BR>[(365*364*363*362*....*(365-(n-2)))/365^(n-1)]*[(n-1)/365]*n
<BR>
<BR>sfruttando ora la formula di Ale86 (che assumo per vera) che è certamente più elegante(potrebbe essere dimostrata per induzione) si ottiene finalmente:
<BR>
<BR>(364!/ 365^(n-1)*(365-n)!)*[(n-1)/365]*n
<BR>
<BR>ditemi per piacere se tutto ciò ha un senso.
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Io direi che bisogna trovare la probabilità che n-2 persone compiano gli anni in giorni diversi e moltiplicarla per la probabilità che due persone abbiano lo stesso compleanno. Poi si moltiplica per c(2,n)=n!/2*(n-2)! , perchè questo è il numero di coppie possibili. Quindi (dopo un passaggio):
<BR>
<BR>364!/ (365^(n-2)*(365-n)!) * n!/2*(n-2)!
<BR>
<BR>Non so quanto c\'è di giusto in quello che ho scritto. Qualcuno esterno valuti, per favore.
<BR>
<BR>p.s.: non c\'è bisogno dell\'induzione per la formula che ho trovato: basta qualche passaggio dalla formula di Psion (ricordando che il numeratore della frazione che ha scritto equivale a 365!/(365-n)!)

Gia Ale, credo che la tua formula sia giusta, mentre per quanto riguarda la mia ho fatto un errore nell\'ultimo passaggio, poiché il moltiplicare per n sarebbe come sommare n volte lo stesso evento e, a meno che l\'uno non sia indipendente dall\'altro, non si può fare.
<BR>EX: se nel mio caso ci fossero 2 persone io alla fine moltiplicherei per 2 ma la configuazione possibile è una sola.
<BR>ps<IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">er quanto riguarda la tua formula mi sa che bisognerebbe dimostrare proprio il passaggio sul numeratore,mentre il resto sono passaggi algebrici.
<BR>Complimenti comunque. <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 31-01-2003 18:24 ]

Grazie.
<BR>La dimostrazione non è difficile e penso che qualcuno l\'abbia già postata da qualce altra parte.
<BR>Dividere per (365-n)! equivale a dividere per 1*2*3....* 365-n. Questi valori si semplificano con quelli di 365!. Quello che rimane è 365*364...* 365-n+1.
<BR>Non mi sono espresso in termini rigorosi, ma è tanto per rendere l\'idea.