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a+1 è compatto
Inviato: 05 nov 2007, 18:37
da edriv
Dimostrare che a+1 è compatto.
Ah, a è un ordinale
(lo posto più che altro perchè si enuncia in modo figo)
Inviato: 05 nov 2007, 21:50
da Nonno Bassotto
Puoi spiegarmi cosa vuol dire la compattezza per un ordinale?
Inviato: 05 nov 2007, 22:30
da edriv
Scusa... intendevo con la topologia d'ordine.
Inviato: 06 nov 2007, 02:34
da Nonno Bassotto
Ah ok, carino. Allora dimostriamolo per induzione su a. La base dell'induzione è ovvia.
Prendiamo un ricoprimento aperto di a+1, e sia U un aperto contenente a. Allora U contiene un aperto della base che contiene a. La base di una topologia d'ordine è formata dagli intervalli aperti e dalle semirette aperte. Nessun intervallo aperto contiene a (perché a è il più grande estremo destro possibile), dunque U contiene una semiretta aperta, ovvero U contiene ogni x > b per qualche b<a. Per ipotesi induttiva b+1 ammette un sottoricoprimento finito; aggiungendo U otteniamo un ricoprimento finito di a+1.