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Secondo me di esercizi sui polinomi non se ne fanno mai abbastanza...
Questo esercizo l'ho risolto ma mi piacerebbe avere la conferma...quindi posto il problema e la soluzione...accetto critiche e altre soluzioni... Very Happy

Dire quale forma deve avere un polinomio $ P(x) $ affinchè per ogni numero reale x si abbia

$ 1-x^4 \le P(x) \le 1+x^4 $


La mia soluzione
Passaggi algebrici
$ 1-x^4 \le P(x) \le 1+x^4 $
$ x^4 \le P(x)-1 \le x^4 $

ricordiamo che se $ -a \le x^2 \le a $ allora $ x^2 - a^2\geq 0 $
quindi possiamo affermare che
$ (P(x)-1)^2 - x^8 \geq 0 $
ovvero questo equivale a dire che il quadrato del polinomio deve avere almeno un elemento in $ x^8 $
quindi la forma del polinomio è
$ P(x)=a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4 $
il tutto con a_0!=0 (ovvero diverso da 0...non sò scriverlo in latex...)

Pare che ambedue abbiamo una certa passione per i polinomi
viewtopic.php?t=9262

angus89 ha scritto:
ricordiamo che se $ -a \le x^2 \le a $ allora$ x^2 - a^2\geq 0 $

è minore, non maggiore, così era troppo facile

EUCLA ha scritto:

angus89 ha scritto:
ricordiamo che se $ -a \le x^2 \le a $ allora$ x^2 - a^2\geq 0 $

è minore, non maggiore, così era troppo facile

hai ragione!!!
Ke cavolo di errore!!!
Ke stupido ke sono!!!

cavolo!!!
va bè...rivedendo...


La mia soluzione
Passaggi algebrici
$ 1-x^4 \le P(x) \le 1+x^4 $
$ x^4 \le P(x)-1 \le x^4 $

grazie al mio errore notiamo che
$ -a \le x^2 \le a $ allora$ x^2 - a^2\le 0 $
quindi possiamo affermare che
$ (P(x)-1)^2 - x^8\le 0 $
ovvero questo equivale a dire che il quadrato del polinomio non deve avere nemmeno un elemento in $ x^8 $
quindi la forma del polinomio è
$ P(x)=a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3 $
oppure deve essere un polinomio di grado inferiore

E' giusta così?
Ormai non sono sicuro più di niente...

scusa se ti smonto la sol per la seconda volta ma non sono convinta riguardo al
non deve avere nemmeno un elemento in x^8 ...
prova a pensare che il coefficiente di quello che devi sottrarre è 1 e
1)siamo nei reali
2)nessuno ti dice che $ P(x) $ sia monico.

si hai ragione...cavolo le cose si complicano sempre più...
Se comincio a pensare a valori reali (e il polinomio non monico) allora la mia soluzione non è corretta...
Perchè anche se comparissero termini di 8 grado nel polinomio $ a_0 $ potrebbe benissimo valere $ 1/2 $...
Ci devo pensare...forse un'idea ce l'ho già...ma ho il cervello in fiamme...tutto il pomeriggio a studiare Seneca...uff...
Va bè ci proverò domani...
Non mi và di scrivere ancora una cosa di cui non sono sicuro...

non ce la faccio...chi mi aiuta?

Allora...vediamo un pò cosa vien fuori:

$ -x^4\le P(x)\le x^4 $ che è equivalente a :

$ -1 \le \displaystyle\frac{P(x)}{x^4} \le 1 $

Da qui si può sapere qualcosa sul grado del polinomio. Infatti se $ P(x) $ è di grado minore di 4, la disuguaglianza non vale per tutte le x ma solo per un intervallo.
Quindi $ deg[P(x)]\le 4 $

Per come deve essere poi è work in progress