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Ciao a tutti... volevo cortesemente chiedervi due cosine.
Prima di tutto volevo sapere come si faceva a trovare il
$ \[\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\[[x]}{x}\] $ dove [x] è la parte intera di x. Poi volevo anche sapere se si riesce a dimostrare che per ogni K intero [x+k] = [x]+k
Grazie e saluti

Intanto fai il secondo, che è più facile. Il secondo si fa così: scrivi la definizione di parte intera ed applicala.

Per il primo innanzitutto direi che ha un certo limite per $ x \rightarrow 0^{+} $ e un altro per $ x \rightarrow 0^{-} $

Intanto provo con lo $ 0^{+} $. Direi che il limite è zero. Infatti abbiamo che per certi x è verificata $ \displaystyle\frac{[x]}{x}< \epsilon $
Pongo $ [x]=x- \alpha $ ovviamente con $ 0 \le \alpha < 1 $.

Quindi $ \displaystyle \frac{x- \alpha}{x}= 1- \displaystyle \frac{\alpha}{x} $.

$ 1- \epsilon < \displaystyle \frac{\alpha}{x} $.

Posso supporre $ \epsilon < 1 $

$ \displaystyle x < \frac{\alpha}{1-\epsilon} $

e risulta verificato.

Direi invece che $ {\lim_{x\rightarrow 0^{-}}} \displaystyle \frac{[x]}{x}=+ \infty $ ed è verificato se posso trovare un intorno sinistro di 0 in cui le x soddisfino la seguente:
$ \displaystyle \frac{[x]}{x}>M $.

RIfacendo la sostituzione di prima :


$ \displaystyle\frac{[x]}{x}=1- \frac{\alpha}{x}>M $

$ - \displaystyle\frac{\alpha}{x}>M-1 $ (suppongo $ M>1 $)

$ x> \displaystyle\frac{\alpha}{1-M} $ e risulta verificato.

Ovviamente c'è buona probabilità che io abbia sbagliato ed è gradita quindi conferma da qualcuno che lo sa per certo .

per il secondo prova anche a vedere cosa esce fuori se k non è intero, può sempre tornare utile

Scusate se vi disturbo ancora ma proprio non riesco a dimostrare il secondo punto partendo dalla definizione di parte intera.
Per quanto riguarda il limite invece io ho pensato di applicare il teorema dei carabinieri sapendo che per x positive vale sempre $ \frac {[x]} {[x]}\le\frac{[x]} {x}\le\frac{x} {x} $ e quindi la funzione tende sempre a 1
Probabilmente però ho sbagliato qualcosa...
Gia che ci sono volevo chiedervi se la funzione parte intera avesse la funzione derivata.
Scusate l'insistenza e grazie di tutto ciao

lhecemi ha scritto: Per quanto riguarda il limite invece io ho pensato di applicare il teorema dei carabinieri sapendo che per x positive vale sempre $ \frac {[x]} {[x]}\le\frac{[x]} {x}\le\frac{x} {x} $ e quindi la funzione tende sempre a 1
Probabilmente però ho sbagliato qualcosa...

Questa è vera allo stesso modo in cui vale $ \displaystyle \frac{1}{[x]} \le \frac{1}{x} $ e contemporaneamente $ [x]\le x $.

Per quanto riguarda il 2° punto:
poni $ [x+k] = x+ k - \alpha $ e $ [x]=x+ \beta $
con $ 0\le \alpha,\beta < 1 $
Però se $ k $ è intero, hai che $ x+k $ e $ x $ eccedono di uno stesso numero reale l'intero strettamente minore. E quindi ne deriva l'uguaglianza.

Eucla ha detto.

Quindi $ [x] = 1-\frac{\alpha}{x} $

Comunque tende anche anche alfa a zero poiche zero è un numero 'intero'. Non mi sembra che si risolva granché.

____
Ciao

Visto che come al solito finisco per creare casino in quello che dico
vengono in aiuto i suggerimenti di wolverine

che dice (quoto pari pari cosi evito di infilare errori miei nelle cose degli altri):

Parte 1_

Per $ x\to0^+ $, si ha $ [x]=0 $ in un intorno destro di zero e dunque $ \displaystyle\frac{[x]}{x} $ identicamente uguale a zero in quell'intorno (e pertanto anche al limite).

Per $ x\to0^- $, si ha $ [x]=-1 $ in un intorno sinistro di zero e dunque $ \displaystyle\frac{[x]}{x} $ identicamente uguale $ \displaystyle-\frac{1}{x} $ in quell'intorno. Ne segue che il limite sinistro e' $ +\infty $

Parte 2_

Sia $ n=[x] $.

Allora $ n\leq x<n+1 $,

dunque $ n+k\leq x+k< n+k+1 $,

e pertanto $ [x+k]=n+k=[x]+k $.